Номер 446, страница 177 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 446, страница 177.

Условие.

Вычислить (446–449).

446. 1) $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}$;

2) $\sqrt{72 \cdot 6 \cdot 45 \cdot 15}$;

3) $\sqrt{900 \cdot 25 \cdot 1,69}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}$, разложим числа под знаком корня на множители. Это позволит нам найти полные квадраты и упростить извлечение корня. Представим множители в следующем виде: $21 = 3 \cdot 7$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2 \cdot 4$. Подставим эти разложения в исходное выражение: $\sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 4)}$ Теперь сгруппируем одинаковые множители, чтобы образовать квадраты: $\sqrt{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 2) \cdot 4} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 4^2}$ Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{4^2} = 3 \cdot 7 \cdot 4$ Вычислим произведение: $3 \cdot 7 \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84$. Ответ: 84.

2) Для вычисления выражения $\sqrt{72 \cdot 6 \cdot 45 \cdot 15}$ также применим метод разложения на множители. Разложим каждое число под корнем: $72 = 2 \cdot 36$ $6 = 2 \cdot 3$ $45 = 5 \cdot 9$ $15 = 3 \cdot 5$ Подставим разложения в выражение: $\sqrt{(2 \cdot 36) \cdot (2 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 5)}$ Сгруппируем множители, выделяя полные квадраты и пары одинаковых чисел: $\sqrt{36 \cdot 9 \cdot (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{36 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 25}$ Извлечем корень из каждого множителя: $\sqrt{36} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ Вычислим полученное произведение: $6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = (6 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 3) \cdot 2 = 30 \cdot 9 \cdot 2 = 270 \cdot 2 = 540$. Ответ: 540.

3) В выражении $\sqrt{900 \cdot 25 \cdot 1.69}$ множители являются удобными для извлечения корня числами. Воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$. $\sqrt{900 \cdot 25 \cdot 1.69} = \sqrt{900} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{1.69}$ Вычислим каждый корень отдельно: $\sqrt{900} = 30$, так как $30^2 = 900$. $\sqrt{25} = 5$, так как $5^2 = 25$. $\sqrt{1.69} = 1.3$, так как $1.3^2 = 1.69$. Теперь перемножим полученные значения: $30 \cdot 5 \cdot 1.3 = 150 \cdot 1.3 = 195$. Ответ: 195.