Номер 440, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 440, страница 176.

Условие.

440. Упростить выражение:

1) $\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{b}$;

2) $2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$;

3) $\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения выражения $ \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt{b} $ разложим числитель дроби $a-b$ на множители по формуле разности квадратов, представив $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $b$ как $(\sqrt{b})^2$.

$ a-b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $

Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим ее (при условии, что $a \neq b$):

$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} $

Теперь выполним вычитание:

$ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b} = \sqrt{a}+\sqrt{b} - \sqrt{b} = \sqrt{a} $

Ответ: $\sqrt{a}$.

2) Рассмотрим выражение $ 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $. Упростим второе слагаемое (дробь). Для этого разложим числитель дроби $x-y$ на множители по формуле разности квадратов:

$ x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x}-\sqrt{y} $

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$ 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - (\sqrt{x}-\sqrt{y}) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 2\sqrt{x}+2\sqrt{y} - \sqrt{x}+\sqrt{y} = (2\sqrt{x}-\sqrt{x}) + (2\sqrt{y}+\sqrt{y}) = \sqrt{x}+3\sqrt{y} $

Ответ: $\sqrt{x}+3\sqrt{y}$.

3) Для упрощения дроби $ \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y} $ воспользуемся формулой суммы кубов. Представим числитель и знаменатель в виде выражений от $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$.

Числитель: $ x\sqrt{x}+y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^2\sqrt{x} + (\sqrt{y})^2\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 $. Это сумма кубов.

Знаменатель: $ x-\sqrt{xy}+y = (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 $. Это неполный квадрат разности.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $ A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2) $. Применив ее к числителю, где $A=\sqrt{x}$ и $B=\sqrt{y}$, получим:

$ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y) $

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:

$ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{x-\sqrt{xy}+y} $

Сократим дробь на общий множитель $(x-\sqrt{xy}+y)$:

$ \sqrt{x}+\sqrt{y} $

Ответ: $\sqrt{x}+\sqrt{y}$.