Номер 433, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 433, страница 175.

Условие.

433. Исключить иррациональность из знаменателя:

1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$;

2) $\frac{2}{\sqrt{6}}$;

3) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$;

4) $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$;

5) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$;

6) $\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$;

7) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$;

8) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{8}}{\sqrt{10}-\sqrt{8}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{\sqrt{5}} $, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

2) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{\sqrt{6}} $ на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} $.

Сократим полученную дробь на 2:

$ \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{3} $.

3) В знаменателе находится разность, поэтому для избавления от иррациональности воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ 2+\sqrt{3} $:

$ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3} $.

Ответ: $ 2+\sqrt{3} $.

4) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ 3-\sqrt{2} $, используя формулу разности квадратов:

$ \frac{1}{3+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{3-\sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3-\sqrt{2}}{9-2} = \frac{3-\sqrt{2}}{7} $.

Ответ: $ \frac{3-\sqrt{2}}{7} $.

5) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7}+\sqrt{3} $:

$ \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} $.

Сократим дробь на 4:

$ \sqrt{7}+\sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{7}+\sqrt{3} $.

6) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{5}-\sqrt{2} $:

$ \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} $.

Сократим дробь на 3:

$ \sqrt{5}-\sqrt{2} $.

Ответ: $ \sqrt{5}-\sqrt{2} $.

7) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{5}-\sqrt{7} $:

$ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} $.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $ и в знаменателе по формуле разности квадратов:

$ \frac{5 - 2\sqrt{5}\sqrt{7} + 7}{5 - 7} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{-2} $.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$ \frac{12}{-2} - \frac{2\sqrt{35}}{-2} = -6 + \sqrt{35} = \sqrt{35} - 6 $.

Ответ: $ \sqrt{35} - 6 $.

8) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{10}+\sqrt{8} $:

$ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{8}}{\sqrt{10}-\sqrt{8}} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{8})(\sqrt{10}+\sqrt{8})}{(\sqrt{10}-\sqrt{8})(\sqrt{10}+\sqrt{8})} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{8})^2}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{8})^2} $.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $, а в знаменателе по формуле разности квадратов:

$ \frac{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2}{10 - 8} = \frac{10 + 2\sqrt{80} + 8}{2} = \frac{18 + 2\sqrt{16 \cdot 5}}{2} = \frac{18 + 2 \cdot 4\sqrt{5}}{2} = \frac{18 + 8\sqrt{5}}{2} $.

Разделим числитель на 2:

$ \frac{18}{2} + \frac{8\sqrt{5}}{2} = 9 + 4\sqrt{5} $.

Ответ: $ 9 + 4\sqrt{5} $.