Номер 437, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 437, страница 175.

Условие.

437. Упростить выражение:

1) $(x-3)\sqrt{\frac{1}{x^2-6x+9}}$ при: а) $x>3$; б) $x<3$;

2) $(2-a)\sqrt{\frac{1}{a^2-4a+4}}$ при: а) $a>2$; б) $a<2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим выражение $(x-3)\sqrt{\frac{1}{x^2-6x+9}}$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Знаменатель $x^2-6x+9$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=3$. Таким образом, $x^2-2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $(x-3)\sqrt{\frac{1}{(x-3)^2}}$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{y^2}=|y|$, получаем: $\sqrt{\frac{1}{(x-3)^2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(x-3)^2}} = \frac{1}{|x-3|}$.

Выражение принимает вид: $(x-3) \cdot \frac{1}{|x-3|} = \frac{x-3}{|x-3|}$.

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|x-3|$ в зависимости от знака выражения $x-3$.

а) При условии $x > 3$, разность $x-3$ является положительным числом, то есть $x-3>0$. Следовательно, по определению модуля, $|x-3| = x-3$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{x-3}{x-3} = 1$

Ответ: $1$

б) При условии $x < 3$, разность $x-3$ является отрицательным числом, то есть $x-3<0$. Следовательно, по определению модуля, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{x-3}{-(x-3)} = -1$

Ответ: $-1$

2) Упростим выражение $(2-a)\sqrt{\frac{1}{a^2-4a+4}}$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Знаменатель $a^2-4a+4$ является полным квадратом разности: $a^2-2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $(2-a)\sqrt{\frac{1}{(a-2)^2}}$.

Используя свойство квадратного корня, получаем: $\sqrt{\frac{1}{(a-2)^2}} = \frac{1}{|a-2|}$.

Выражение принимает вид: $(2-a) \cdot \frac{1}{|a-2|} = \frac{2-a}{|a-2|}$.

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|a-2|$ в зависимости от знака выражения $a-2$.

а) При условии $a > 2$, разность $a-2$ положительна, то есть $a-2>0$. Следовательно, $|a-2| = a-2$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{2-a}{a-2} = \frac{-(a-2)}{a-2} = -1$

Ответ: $-1$

б) При условии $a < 2$, разность $a-2$ отрицательна, то есть $a-2<0$. Следовательно, $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{2-a}{2-a} = 1$

Ответ: $1$