Номер 443, страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 443, страница 176.

Условие.

443. Построить график функции:

1) $y=\sqrt{x^2 - 2x + 1};$

2) $y=\sqrt{x^2 - 6x + 9}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$.
Выражение под знаком корня, $x^2 - 2x + 1$, представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=1$, следовательно, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Таким образом, исходную функцию можно преобразовать к виду: $y = \sqrt{(x-1)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем: $y = |x - 1|$.
График функции $y = |x - 1|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо.
График состоит из двух лучей, исходящих из одной точки (вершины).
Вершина находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Координаты вершины: $(1, 0)$.
Для построения графика можно также раскрыть модуль:
1. При $x - 1 \ge 0$, то есть при $x \ge 1$, функция принимает вид $y = x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.
2. При $x - 1 < 0$, то есть при $x < 1$, функция принимает вид $y = -(x - 1) = -x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой две полупрямые (лучи), выходящие из точки $(1, 0)$. Одна полупрямая задается уравнением $y = x - 1$ для $x \ge 1$, вторая — уравнением $y = -x + 1$ для $x < 1$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.
Выражение под корнем, $x^2 - 6x + 9$, также является полным квадратом разности. По формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$, получаем $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Исходная функция преобразуется к виду: $y = \sqrt{(x-3)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |x - 3|$.
График функции $y = |x - 3|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо.
Этот график имеет форму "галочки" и состоит из двух лучей.
Вершина графика находится в точке, где $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.
Раскроем модуль для детального построения:
1. При $x - 3 \ge 0$, то есть при $x \ge 3$, функция имеет вид $y = x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 1)$.
2. При $x - 3 < 0$, то есть при $x < 3$, функция имеет вид $y = -(x - 3) = -x + 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой две полупрямые (лучи), выходящие из точки $(3, 0)$. Одна полупрямая задается уравнением $y = x - 3$ для $x \ge 3$, вторая — уравнением $y = -x + 3$ для $x < 3$.