Номер 438, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 438, страница 175.

Условие.

438. Вычислить:

1) $ \frac{3}{2+\sqrt{6}} + \frac{3}{2-\sqrt{6}} $;

2) $ \frac{5}{3-\sqrt{11}} + \frac{5}{3+\sqrt{11}} $;

3) $ \frac{2}{\sqrt{11}-3} - \frac{7}{\sqrt{11}-2} $;

4) $ \frac{3}{3+\sqrt{6}} + \frac{2}{2+\sqrt{6}} $;

5) $ \frac{3}{\sqrt{7}-2} - \frac{2}{\sqrt{7}+3} - 2\sqrt{7} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $ \frac{3}{2 + \sqrt{6}} + \frac{3}{2 - \sqrt{6}} $
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $ (2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) $. Применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ (2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) = 2^2 - (\sqrt{6})^2 = 4 - 6 = -2 $.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их числители:
$ \frac{3(2 - \sqrt{6})}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} + \frac{3(2 + \sqrt{6})}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{3(2 - \sqrt{6}) + 3(2 + \sqrt{6})}{-2} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{6 - 3\sqrt{6} + 6 + 3\sqrt{6}}{-2} = \frac{12}{-2} = -6 $
Ответ: -6

2) $ \frac{5}{3 - \sqrt{11}} + \frac{5}{3 + \sqrt{11}} $
Найдем общий знаменатель, используя формулу разности квадратов:
$ (3 - \sqrt{11})(3 + \sqrt{11}) = 3^2 - (\sqrt{11})^2 = 9 - 11 = -2 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{5(3 + \sqrt{11}) + 5(3 - \sqrt{11})}{-2} = \frac{15 + 5\sqrt{11} + 15 - 5\sqrt{11}}{-2} $
Упростим числитель:
$ \frac{30}{-2} = -15 $
Ответ: -15

3) $ \frac{2}{\sqrt{11} - 3} - \frac{7}{\sqrt{11} - 2} $
Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} - 2) $.
Раскроем скобки в знаменателе:
$ (\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} - 2) = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11} - 3\sqrt{11} + 6 = 11 - 5\sqrt{11} + 6 = 17 - 5\sqrt{11} $.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание в числителе:
$ \frac{2(\sqrt{11} - 2) - 7(\sqrt{11} - 3)}{17 - 5\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11} - 4 - 7\sqrt{11} + 21}{17 - 5\sqrt{11}} $
Упростим числитель:
$ \frac{17 - 5\sqrt{11}}{17 - 5\sqrt{11}} = 1 $
Ответ: 1

4) $ \frac{3}{3 + \sqrt{6}} + \frac{2}{2 + \sqrt{6}} $
Общий знаменатель: $ (3 + \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) $.
Раскроем скобки в знаменателе:
$ (3 + \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 3 \cdot 2 + 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 6 + 5\sqrt{6} + 6 = 12 + 5\sqrt{6} $.
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим числители:
$ \frac{3(2 + \sqrt{6}) + 2(3 + \sqrt{6})}{12 + 5\sqrt{6}} = \frac{6 + 3\sqrt{6} + 6 + 2\sqrt{6}}{12 + 5\sqrt{6}} $
Упростим числитель:
$ \frac{12 + 5\sqrt{6}}{12 + 5\sqrt{6}} = 1 $
Ответ: 1

5) $ \frac{3}{\sqrt{7} - 2} - \frac{2}{\sqrt{7} + 3} - 2\sqrt{7} $
Упростим каждую дробь отдельно, избавившись от иррациональности в знаменателе.
Для первой дроби домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{7} + 2) $:
$ \frac{3}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{3} = \sqrt{7} + 2 $
Для второй дроби домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{7} - 3) $:
$ \frac{2}{\sqrt{7} + 3} = \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)} = \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{7 - 9} = \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{-2} = -(\sqrt{7} - 3) = 3 - \sqrt{7} $
Подставим полученные выражения в исходный пример:
$ (\sqrt{7} + 2) - (3 - \sqrt{7}) - 2\sqrt{7} = \sqrt{7} + 2 - 3 + \sqrt{7} - 2\sqrt{7} $
Сгруппируем слагаемые и вычислим:
$ (\sqrt{7} + \sqrt{7} - 2\sqrt{7}) + (2 - 3) = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) - 1 = 0 - 1 = -1 $
Ответ: -1