Номер 432, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 432, страница 175.

Условие.

432. 1) $\sqrt{\frac{64 \cdot 49}{196 \cdot 324}}$;

2) $\sqrt{5\frac{4}{9} \cdot 11\frac{14}{25}}$;

3) $\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{81} \cdot \frac{36}{169}}$;

4) $\sqrt{\frac{9}{16} \cdot 5^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами квадратного корня: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, а корень из произведения равен произведению корней $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{64 \cdot 49}{196 \cdot 324}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 49}}{\sqrt{196 \cdot 324}} = \frac{\sqrt{64} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{196} \cdot \sqrt{324}} $
Вычисляем значения корней, так как все подкоренные выражения являются полными квадратами:
$ \sqrt{64} = 8 $
$ \sqrt{49} = 7 $
$ \sqrt{196} = 14 $
$ \sqrt{324} = 18 $
Подставляем значения в выражение и упрощаем полученную дробь:
$ \frac{8 \cdot 7}{14 \cdot 18} = \frac{56}{252} $
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители:
$ \frac{8 \cdot 7}{14 \cdot 18} = \frac{8 \cdot 7}{(2 \cdot 7) \cdot 18} = \frac{8}{2 \cdot 18} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $
Ответ: $ \frac{2}{9} $.

2) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9} $
$ 11\frac{14}{25} = \frac{11 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{275 + 14}{25} = \frac{289}{25} $
Теперь подставим эти дроби в исходное выражение:
$ \sqrt{5\frac{4}{9} \cdot 11\frac{14}{25}} = \sqrt{\frac{49}{9} \cdot \frac{289}{25}} $
Используя свойство корня из произведения, разделим корень на два, а затем применим свойство корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{49}{9}} \cdot \sqrt{\frac{289}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}} $
Вычисляем значения корней и перемножаем полученные дроби:
$ \frac{7}{3} \cdot \frac{17}{5} = \frac{7 \cdot 17}{3 \cdot 5} = \frac{119}{15} $
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$ \frac{119}{15} = 7\frac{14}{15} $
Ответ: $ 7\frac{14}{15} $.

3) Для решения этого примера используем свойство корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $.
$ \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{81} \cdot \frac{36}{169}} = \sqrt{\frac{9}{16}} \cdot \sqrt{\frac{4}{81}} \cdot \sqrt{\frac{36}{169}} $
Далее, используя свойство корня из дроби, извлекаем корни из числителей и знаменателей:
$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{13} $
Перемножаем дроби и выполняем сокращение:
$ \frac{3 \cdot 2 \cdot 6}{4 \cdot 9 \cdot 13} = \frac{36}{468} $
Чтобы упростить, можно сокращать до умножения: $ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{13} = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{6}{13} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{13} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{13} = \frac{1}{13} $
Ответ: $ \frac{1}{13} $.

4) Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 5^2} = \sqrt{\frac{9}{16}} \cdot \sqrt{5^2} $
Вычисляем каждый корень отдельно:
$ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} $
$ \sqrt{5^2} = 5 $
Теперь перемножим полученные значения:
$ \frac{3}{4} \cdot 5 = \frac{15}{4} $
Представим результат в виде смешанного числа:
$ \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} $
Ответ: $ 3\frac{3}{4} $.