Номер 5, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 5, страница 174.

Условие.

5. Сравнить среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел $m$ и $n$.

Решение 4.

Для сравнения среднего арифметического и среднего геометрического для двух положительных чисел $m$ и $n$, необходимо сравнить значения выражений $\frac{m+n}{2}$ (среднее арифметическое) и $\sqrt{mn}$ (среднее геометрическое). По условию, $m > 0$ и $n > 0$.

Рассмотрим разность этих двух величин:

$$ \frac{m+n}{2} - \sqrt{mn} $$

Чтобы определить знак этой разности, приведем выражение к общему знаменателю:

$$ \frac{m+n - 2\sqrt{mn}}{2} $$

Числитель дроби, $m+n - 2\sqrt{mn}$, можно преобразовать, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Так как числа $m$ и $n$ по условию положительные, мы можем представить их как квадраты их арифметических квадратных корней: $m = (\sqrt{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$. Тогда числитель можно записать в виде:

$$ (\sqrt{m})^2 - 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $$

Таким образом, исходная разность равна:

$$ \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2}{2} $$

Квадрат любого действительного числа (в данном случае числа $\sqrt{m} - \sqrt{n}$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 \ge 0$. Знаменатель дроби равен 2, что является положительным числом.

Следовательно, вся дробь всегда больше или равна нулю:

$$ \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2}{2} \ge 0 $$

Отсюда следует, что разность между средним арифметическим и средним геометрическим также всегда больше или равна нулю:

$$ \frac{m+n}{2} - \sqrt{mn} \ge 0 $$

Перенеся среднее геометрическое в правую часть, получаем искомое соотношение, известное как неравенство Коши или неравенство о средних для двух чисел:

$$ \frac{m+n}{2} \ge \sqrt{mn} $$

Далее определим, при каком условии в этом неравенстве достигается равенство. Равенство возможно тогда и только тогда, когда разность равна нулю:

$$ \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2}{2} = 0 $$

Это уравнение выполняется только в том случае, если числитель равен нулю:

$$ (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = 0 $$

$$ \sqrt{m} - \sqrt{n} = 0 $$

$$ \sqrt{m} = \sqrt{n} $$

Поскольку $m$ и $n$ — положительные числа, равенство их квадратных корней означает, что и сами числа равны: $m=n$.

Таким образом, среднее арифметическое двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому. Равенство достигается только тогда, когда эти числа равны между собой.

Ответ: Среднее арифметическое положительных чисел $m$ и $n$ больше или равно их среднему геометрическому. Это выражается неравенством $\frac{m+n}{2} \ge \sqrt{mn}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $m=n$.