Номер 2, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 2, страница 174.

Условие.

2. Какое свойство степени с натуральным показателем применяется при доказательстве теоремы о корне из дроби?

Решение 4.

При доказательстве теоремы о корне из дроби используется свойство степени с натуральным показателем, которое называется свойство степени дроби (или частного).

Сформулируем теорему о корне из дроби: для любого натурального числа $n \ge 2$, любого неотрицательного числа $a$ и любого положительного числа $b$ справедливо равенство:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Доказательство этой теоремы строится на определении арифметического корня n-ой степени. Чтобы доказать равенство, необходимо показать, что:

1. Выражение $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ является неотрицательным.
2. n-я степень выражения $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ равна подкоренному выражению $\frac{a}{b}$.

Первое условие выполняется, так как $\sqrt[n]{a} \ge 0$ и $\sqrt[n]{b} > 0$.

Для проверки второго условия необходимо возвести дробь $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ в степень $n$:

$(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})^n$

На этом шаге и применяется свойство степени дроби. Оно гласит, что для возведения дроби в степень нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Формула этого свойства выглядит так:

$(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ (где $y \ne 0$)

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}$

Далее, по определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ и $(\sqrt[n]{b})^n = b$. В результате получаем:

$\frac{a}{b}$

Таким образом, мы доказали, что n-я степень выражения $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ равна $\frac{a}{b}$, что и требовалось для доказательства теоремы.

Ответ: При доказательстве теоремы о корне из дроби применяется свойство степени дроби (частного), согласно которому степень дроби равна дроби от степеней ее числителя и знаменателя: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.