Номер 427, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 427, страница 169.

Условие.

427. Доказать равенство

$\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - b}} = \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}}$, если $a \ge \sqrt{b}, b \ge 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного равенства возведем в квадрат его правую часть. Этот метод корректен, поскольку обе части равенства неотрицательны при заданных условиях $a \ge \sqrt{b}$ и $b \ge 0$.

Сначала убедимся, что все выражения под корнями неотрицательны:

1. Из условия $b \ge 0$ следует, что $\sqrt{b}$ является действительным числом.

2. Из условия $a \ge \sqrt{b}$ следует, что разность $a - \sqrt{b} \ge 0$.

3. Так как $a \ge \sqrt{b}$ и $\sqrt{b} \ge 0$, то $a \ge 0$. Следовательно, сумма $a + \sqrt{b} \ge 0$.

4. Возведя в квадрат неравенство $a \ge \sqrt{b}$ (обе части неотрицательны), получаем $a^2 \ge b$, откуда $a^2 - b \ge 0$.

Таким образом, все квадратные корни в выражении определены, и обе части равенства являются неотрицательными действительными числами.

Теперь возведем правую часть равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}})^2 = (\sqrt{a + \sqrt{b}})^2 + 2 \cdot \sqrt{a + \sqrt{b}} \cdot \sqrt{a - \sqrt{b}} + (\sqrt{a - \sqrt{b}})^2$

Упростим полученное выражение. Квадратный корень и возведение в квадрат взаимно уничтожаются:

$= (a + \sqrt{b}) + 2\sqrt{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} + (a - \sqrt{b})$

Для выражения под корнем применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$= (a + \sqrt{b}) + 2\sqrt{a^2 - (\sqrt{b})^2} + (a - \sqrt{b})$

$= a + \sqrt{b} + 2\sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{b}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (a+a) + (\sqrt{b} - \sqrt{b}) + 2\sqrt{a^2 - b} = 2a + 2\sqrt{a^2 - b}$

Полученное выражение $2a + 2\sqrt{a^2 - b}$ в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части исходного равенства. Поскольку квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части, и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство $\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - b}} = \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}}$ является верным.

Ответ: Равенство доказано.