Номер 3, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 174.

Условие.

3. Можно ли отношение квадратных корней из положительных чисел ($ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $) заменить квадратным корнем из отношения этих чисел ($ \sqrt{\frac{a}{b}} $)?

Решение 4.

Да, отношение квадратных корней из положительных чисел можно заменить квадратным корнем из отношения этих чисел. Это является одним из основных свойств арифметического квадратного корня, которое известно как "корень из частного" или "корень из дроби".

Сформулируем это утверждение в виде математического тождества. Пусть у нас есть два положительных числа, a и b (то есть, $a > 0$ и $b > 0$).

Вопрос заключается в том, является ли верным следующее равенство:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Чтобы доказать это, воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа x называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен x.

Рассмотрим левую часть равенства — выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными положительными числами. Следовательно, их отношение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ также является положительным числом.

Теперь возведем это выражение в квадрат, используя свойство степени частного:

$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$

Так как по определению квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого неотрицательного x, получаем:

$\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$

Таким образом, мы показали, что положительное число $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при возведении в квадрат дает в результате дробь $\frac{a}{b}$. Это в точности соответствует определению арифметического квадратного корня из $\frac{a}{b}$. Следовательно, равенство доказано.

Проверим это свойство на конкретном примере. Пусть $a = 144$ и $b = 9$.

1. Найдем отношение квадратных корней:

$\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$

2. Найдем квадратный корень из отношения этих чисел:

$\sqrt{\frac{144}{9}} = \sqrt{16} = 4$

Результаты вычислений совпадают, что подтверждает справедливость данного свойства.

Ответ: Да, можно. Для любых положительных чисел a и b справедливо тождество $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.