Номер 428, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 428, страница 169.

Условие.

428. Построить график функции:

1) $y=\sqrt{x^2}$;

2) $y=\sqrt{(x-1)^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x^2}$, необходимо сначала упростить данное выражение. По определению, арифметический квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Применяя это свойство к нашей функции, получаем:

$y = \sqrt{x^2} = |x|$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = |x|$ (модуль $x$).

Раскроем модуль по определению:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$) график совпадает с графиком прямой $y = x$. Это луч, выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точки (1, 1), (2, 2) и т.д. Этот луч является биссектрисой I координатного угла.
2. Для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$) график совпадает с графиком прямой $y = -x$. Это луч, также выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точки (-1, 1), (-2, 2) и т.д. Этот луч является биссектрисой II координатного угла.

Совместив эти два луча, мы получаем график, который имеет форму "галочки" или буквы "V" с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x^2}$ совпадает с графиком функции $y=|x|$. Он состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

2)

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{(x-1)^2}$, мы используем то же свойство, что и в первом пункте: $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = x-1$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

Теперь нам нужно построить график функции $y = |x-1|$.

Этот график можно получить из графика функции $y = |x|$, который мы построили в предыдущем задании, с помощью геометрического преобразования. График функции $y = f(x-c)$ получается из графика функции $y=f(x)$ сдвигом на $c$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). В нашем случае $f(x)=|x|$ и $c=1$. Значит, нам нужно сдвинуть график $y = |x|$ на 1 единицу вправо.

Вершина "галочки" сместится из точки (0, 0) в точку (1, 0).

Также можно построить график, раскрыв модуль по определению:

$y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{если } x-1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

То есть:

$y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \ge 1 \\ -x+1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, выходящих из общей точки (1, 0):

1. Луч $y = x-1$ для $x \ge 1$. Он проходит через точки (1, 0), (2, 1), (3, 2).
2. Луч $y = -x+1$ для $x < 1$. Он проходит через точки (1, 0), (0, 1), (-1, 2).

Объединив лучи, мы получаем "галочку", вершина которой находится в точке (1, 0).

Ответ: График функции $y=\sqrt{(x-1)^2}$ совпадает с графиком функции $y=|x-1|$. Он представляет собой график $y=|x|$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке (1, 0).