Страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

420. Упростить:

1) $b\sqrt{\frac{a}{b}} + a\sqrt{\frac{b}{a}}$, $a > 0$, $b > 0$;

2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3} + 6x\sqrt{\frac{x}{4}} - x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$, $x > 0$.

1) Дано выражение $b\sqrt{\frac{a}{b}} + a\sqrt{\frac{b}{a}}$ при условиях $a > 0$, $b > 0$.
Для упрощения этого выражения внесем множители перед корнями под знак корня. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем записать $b = \sqrt{b^2}$ и $a = \sqrt{a^2}$.
Преобразуем первое слагаемое:
$b\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{b^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{ab^2}{b}} = \sqrt{ab}$.
Преобразуем второе слагаемое:
$a\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2b}{a}} = \sqrt{ab}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$\sqrt{ab} + \sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}$.
Ответ: $2\sqrt{ab}$.

2) Дано выражение $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3} + 6x\sqrt{\frac{x}{4}} - x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$ при условии $x > 0$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Для первого слагаемого $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3}$, вынесем множитель из-под знака корня. Учитывая, что $x>0$:
$\frac{2}{3}\sqrt{9x^3} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot x\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$.
Для второго слагаемого $6x\sqrt{\frac{x}{4}}$, воспользуемся свойством корня из дроби:
$6x\sqrt{\frac{x}{4}} = 6x \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}} = 6x \frac{\sqrt{x}}{2} = 3x\sqrt{x}$.
Для третьего слагаемого $-x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$, внесем $x^2$ под знак корня. Так как $x > 0$, $x^2 = \sqrt{x^4}$:
$-x^2\sqrt{\frac{1}{x}} = -\sqrt{(x^2)^2 \cdot \frac{1}{x}} = -\sqrt{x^4 \cdot \frac{1}{x}} = -\sqrt{x^3} = -\sqrt{x^2 \cdot x} = -x\sqrt{x}$.
Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и приведем подобные члены:
$2x\sqrt{x} + 3x\sqrt{x} - x\sqrt{x} = (2 + 3 - 1)x\sqrt{x} = 4x\sqrt{x}$.
Ответ: $4x\sqrt{x}$.

421. Вычислить:

1) $(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2 - (\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13});$

2) $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11}) - (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2.$

1) $(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2 - (\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$

Решим задачу по частям.

Сначала упростим и раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Перед этим упростим корень из 45:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

Теперь подставим это в первую часть выражения:

$(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2 = (\sqrt{5} - 3\sqrt{5})^2 = (-2\sqrt{5})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $(\sqrt{13} + \sqrt{11})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$.

Чтобы применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, переставим слагаемые в первой скобке и множители местами: $(\sqrt{11} + \sqrt{13})(\sqrt{11} - \sqrt{13})$.

Теперь применим формулу, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{13}$:

$(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{13})^2 = 11 - 13 = -2$

Наконец, объединим результаты:

$20 - (-2) = 20 + 2 = 22$

Ответ: 22

2) $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11}) - (\sqrt{12} - \sqrt{3})^2$

Также решим по частям.

Рассмотрим первую часть: $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{7} + \sqrt{11})$.

Переставим слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу разности квадратов: $(\sqrt{11} - \sqrt{7})(\sqrt{11} + \sqrt{7})$.

Применяем формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{7}$:

$(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{7})^2 = 11 - 7 = 4$

Теперь рассмотрим вторую часть: $(\sqrt{12} - \sqrt{3})^2$.

Сначала упростим корень из 12:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Подставим это в выражение:

$(2\sqrt{3} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Теперь вычтем результат второй части из результата первой:

$4 - 3 = 1$

Ответ: 1

422. Упростить выражение:

1) $\frac{1}{2}\sqrt{128} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{72};$

2) $3\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{80};$

3) $-\frac{2}{3}\sqrt{27} + \frac{1}{5}\sqrt{300} + 5\sqrt{3};$

4) $2\sqrt{8} + 0,5\sqrt{32} - \frac{1}{3}\sqrt{18}.$

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2}\sqrt{128} + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{72}$, нужно вынести множители из-под знака корня.
Разложим числа под корнями на множители так, чтобы один из множителей был квадратом целого числа:
$\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 2 \cdot 6\sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 12\sqrt{2}$
Теперь сложим коэффициенты при одинаковых корнях:
$(4 + 3 + 12)\sqrt{2} = 19\sqrt{2}$
Ответ: $19\sqrt{2}$

2) Упростим выражение $3\sqrt{45} - \sqrt{125} + \sqrt{80}$.
Вынесем множители из-под знака корня для каждого слагаемого:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$
Подставим упрощенные корни в выражение:
$3 \cdot 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 9\sqrt{5} - 5\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$
Приведем подобные слагаемые:
$(9 - 5 + 4)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$
Ответ: $8\sqrt{5}$

3) Упростим выражение $-\frac{2}{3}\sqrt{27} + \frac{1}{5}\sqrt{300} + 5\sqrt{3}$.
Сначала упростим корни, вынеся множители:
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$-\frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} + \frac{1}{5} \cdot 10\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$
Выполним умножение:
$-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$
Сложим коэффициенты:
$(-2 + 2 + 5)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
Ответ: $5\sqrt{3}$

4) Упростим выражение $2\sqrt{8} + 0,5\sqrt{32} - \frac{1}{3}\sqrt{18}$.
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
Подставим упрощенные значения в выражение. Также представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$:
$2 \cdot 2\sqrt{2} + 0,5 \cdot 4\sqrt{2} - \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{2}$
Выполним умножение коэффициентов:
$4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2}$
Приведем подобные слагаемые:
$(4 + 2 - 1)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
Ответ: $5\sqrt{2}$

423. Упростить выражение (буквами обозначены положительные числа):

1) $\frac{1}{3}\sqrt{9x^5} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^3} - x\sqrt{x} + x\sqrt{x^3}$;

2) $3\sqrt{0.04a^3b^3} - 2\sqrt{0.25a^3b^5} + 4b\sqrt{\frac{1}{16}a^3b^3}$.

1)

Исходное выражение: $\frac{1}{3}\sqrt{9x^5} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^3} - x\sqrt{x} + x\sqrt{x^3}$.

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. По условию, переменные обозначают положительные числа, поэтому $x > 0$.

Упростим каждое слагаемое:

• $\frac{1}{3}\sqrt{9x^5} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot x^4 \cdot x} = \frac{1}{3}\sqrt{(3x^2)^2 \cdot x} = \frac{1}{3} \cdot 3x^2\sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$
• $\frac{1}{2}\sqrt{4x^3} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{1}{2}\sqrt{(2x)^2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot 2x\sqrt{x} = x\sqrt{x}$
• $x\sqrt{x^3} = x\sqrt{x^2 \cdot x} = x \cdot x\sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$x^2\sqrt{x} + x\sqrt{x} - x\sqrt{x} + x^2\sqrt{x}$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(x^2\sqrt{x} + x^2\sqrt{x}) + (x\sqrt{x} - x\sqrt{x}) = 2x^2\sqrt{x} + 0 = 2x^2\sqrt{x}$

Ответ: $2x^2\sqrt{x}$

2)

Исходное выражение: $3\sqrt{0,04a^3b^3} - 2\sqrt{0,25a^3b^5} + 4b\sqrt{\frac{1}{16}a^3b^3}$.

Упростим каждый член выражения, вынося множители из-под знака корня. По условию, $a > 0$ и $b > 0$.

Упростим каждое слагаемое:

• $3\sqrt{0,04a^3b^3} = 3\sqrt{0,04 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot ab} = 3\sqrt{(0,2ab)^2 \cdot ab} = 3 \cdot 0,2ab\sqrt{ab} = 0,6ab\sqrt{ab}$
• $-2\sqrt{0,25a^3b^5} = -2\sqrt{0,25 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot ab} = -2\sqrt{(0,5ab^2)^2 \cdot ab} = -2 \cdot 0,5ab^2\sqrt{ab} = -ab^2\sqrt{ab}$
• $4b\sqrt{\frac{1}{16}a^3b^3} = 4b\sqrt{\frac{1}{16} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot ab} = 4b\sqrt{(\frac{1}{4}ab)^2 \cdot ab} = 4b \cdot \frac{1}{4}ab\sqrt{ab} = ab^2\sqrt{ab}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$0,6ab\sqrt{ab} - ab^2\sqrt{ab} + ab^2\sqrt{ab}$

Приведем подобные члены. Члены $-ab^2\sqrt{ab}$ и $ab^2\sqrt{ab}$ взаимно уничтожаются:

$0,6ab\sqrt{ab} + (-ab^2\sqrt{ab} + ab^2\sqrt{ab}) = 0,6ab\sqrt{ab} + 0 = 0,6ab\sqrt{ab}$

Ответ: $0,6ab\sqrt{ab}$

424. Разложить на множители по образцу ($a \ge 0$, $b \ge 0$)

$9 - a = (3 - \sqrt{a})(3 + \sqrt{a})$:

1) $25 - a$;

2) $b - 16$;

3) $0.01 - a$;

4) $b - \frac{9}{49}$.

Для разложения на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В задании даны условия $a \ge 0$ и $b \ge 0$, что позволяет представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $b$ как $(\sqrt{b})^2$.

1) $25 - a$

Представим выражение в виде разности квадратов. Число $25$ является квадратом числа $5$ (т.е. $25 = 5^2$), а переменную $a$, согласно условию $a \ge 0$, можно представить как квадрат её квадратного корня (т.е. $a = (\sqrt{a})^2$).

Применим формулу разности квадратов:

$25 - a = 5^2 - (\sqrt{a})^2 = (5 - \sqrt{a})(5 + \sqrt{a})$

Ответ: $(5 - \sqrt{a})(5 + \sqrt{a})$

2) $b - 16$

Представим выражение в виде разности квадратов. Переменную $b$, согласно условию $b \ge 0$, можно представить как $(\sqrt{b})^2$, а число $16$ является квадратом числа $4$ (т.е. $16 = 4^2$).

Применим формулу разности квадратов:

$b - 16 = (\sqrt{b})^2 - 4^2 = (\sqrt{b} - 4)(\sqrt{b} + 4)$

Ответ: $(\sqrt{b} - 4)(\sqrt{b} + 4)$

3) $0,01 - a$

Представим выражение в виде разности квадратов. Десятичная дробь $0,01$ является квадратом числа $0,1$ (т.е. $0,01 = (0,1)^2$), а переменную $a$ можно представить как $(\sqrt{a})^2$.

Применим формулу разности квадратов:

$0,01 - a = (0,1)^2 - (\sqrt{a})^2 = (0,1 - \sqrt{a})(0,1 + \sqrt{a})$

Ответ: $(0,1 - \sqrt{a})(0,1 + \sqrt{a})$

4) $b - \frac{9}{49}$

Представим выражение в виде разности квадратов. Переменную $b$ можно представить как $(\sqrt{b})^2$, а обыкновенную дробь $\frac{9}{49}$ можно представить как квадрат дроби $\frac{3}{7}$ (т.е. $\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$).

Применим формулу разности квадратов:

$b - \frac{9}{49} = (\sqrt{b})^2 - (\frac{3}{7})^2 = (\sqrt{b} - \frac{3}{7})(\sqrt{b} + \frac{3}{7})$

Ответ: $(\sqrt{b} - \frac{3}{7})(\sqrt{b} + \frac{3}{7})$

425. Сократить дробь $(a \ge 0, b \ge 0):$

1) $\frac{25-a}{5+\sqrt{a}};$

2) $\frac{b-16}{4+\sqrt{b}};$

3) $\frac{0,49-a}{\sqrt{a}+0,7};$

4) $\frac{0,81-b}{0,9+\sqrt{b}}.$

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Условие $a \ge 0$ и $b \ge 0$ позволяет представить переменные в виде квадратов их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

1) Сократим дробь $\frac{25-a}{5+\sqrt{a}}$.

Представим числитель $25-a$ в виде разности квадратов: $25 - a = 5^2 - (\sqrt{a})^2$.

Применив формулу, получаем: $5^2 - (\sqrt{a})^2 = (5-\sqrt{a})(5+\sqrt{a})$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(5-\sqrt{a})(5+\sqrt{a})}{5+\sqrt{a}}$

Поскольку $a \ge 0$, знаменатель $5+\sqrt{a}$ всегда положителен и не равен нулю, поэтому мы можем сократить дробь на общий множитель $(5+\sqrt{a})$.

$\frac{(5-\sqrt{a})\cancel{(5+\sqrt{a})}}{\cancel{5+\sqrt{a}}} = 5-\sqrt{a}$

Ответ: $5-\sqrt{a}$

2) Сократим дробь $\frac{b-16}{4+\sqrt{b}}$.

Представим числитель $b-16$ в виде разности квадратов: $b-16 = (\sqrt{b})^2 - 4^2$.

По формуле разности квадратов: $(\sqrt{b})^2 - 4^2 = (\sqrt{b}-4)(\sqrt{b}+4)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt{b}-4)(\sqrt{b}+4)}{4+\sqrt{b}}$

Знаменатель $4+\sqrt{b}$ равен множителю в числителе $\sqrt{b}+4$. Так как $b \ge 0$, знаменатель всегда положителен. Сокращаем дробь:

$\frac{(\sqrt{b}-4)\cancel{(\sqrt{b}+4)}}{\cancel{4+\sqrt{b}}} = \sqrt{b}-4$

Ответ: $\sqrt{b}-4$

3) Сократим дробь $\frac{0.49-a}{\sqrt{a}+0.7}$.

Представим числитель $0.49-a$ в виде разности квадратов: $0.49-a = (0.7)^2 - (\sqrt{a})^2$.

Раскладываем по формуле: $(0.7)^2 - (\sqrt{a})^2 = (0.7-\sqrt{a})(0.7+\sqrt{a})$.

Подставляем в дробь:

$\frac{(0.7-\sqrt{a})(0.7+\sqrt{a})}{\sqrt{a}+0.7}$

Знаменатель $\sqrt{a}+0.7$ равен множителю $0.7+\sqrt{a}$. Так как $a \ge 0$, знаменатель всегда положителен. Сокращаем на общий множитель:

$\frac{(0.7-\sqrt{a})\cancel{(0.7+\sqrt{a})}}{\cancel{\sqrt{a}+0.7}} = 0.7-\sqrt{a}$

Ответ: $0.7-\sqrt{a}$

4) Сократим дробь $\frac{0.81-b}{0.9+\sqrt{b}}$.

Представим числитель $0.81-b$ в виде разности квадратов: $0.81 - b = (0.9)^2 - (\sqrt{b})^2$.

Раскладываем по формуле: $(0.9)^2 - (\sqrt{b})^2 = (0.9-\sqrt{b})(0.9+\sqrt{b})$.

Подставляем в дробь:

$\frac{(0.9-\sqrt{b})(0.9+\sqrt{b})}{0.9+\sqrt{b}}$

Знаменатель $0.9+\sqrt{b}$ всегда положителен, так как $b \ge 0$. Сокращаем дробь на этот общий множитель:

$\frac{(0.9-\sqrt{b})\cancel{(0.9+\sqrt{b})}}{\cancel{0.9+\sqrt{b}}} = 0.9-\sqrt{b}$

Ответ: $0.9-\sqrt{b}$

426. Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,1:

1) $ \sqrt{23} \cdot \sqrt{51}; $

2) $ \sqrt{123} \cdot \sqrt{63}; $

3) $ \sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{19}; $

4) $ \sqrt{15} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{21}; $

5) $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{13}; $

6) $ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}. $

1) $\sqrt{23} \cdot \sqrt{51}$
Для вычисления воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{23} \cdot \sqrt{51} = \sqrt{23 \cdot 51} = \sqrt{1173}$.
С помощью калькулятора находим значение корня: $\sqrt{1173} \approx 34,24908...$
Округляем результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой (4) меньше 5, округляем в меньшую сторону.
Ответ: 34,2

2) $\sqrt{123} \cdot \sqrt{63}$
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{123} \cdot \sqrt{63} = \sqrt{123 \cdot 63} = \sqrt{7749}$.
Вычислим значение на калькуляторе: $\sqrt{7749} \approx 87,99431...$
Округляем результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем в большую сторону.
Ответ: 88,0

3) $\sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{19}$
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$.
$\sqrt{13} \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{19} = \sqrt{13 \cdot 17 \cdot 19} = \sqrt{4199}$.
Вычислим значение на калькуляторе: $\sqrt{4199} \approx 64,80740...$
Округляем результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой (0) меньше 5, округляем в меньшую сторону.
Ответ: 64,8

4) $\sqrt{15} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{21}$
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$.
$\sqrt{15} \cdot \sqrt{18} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{15 \cdot 18 \cdot 21} = \sqrt{5670}$.
Вычислим значение на калькуляторе: $\sqrt{5670} \approx 75,29940...$
Округляем результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем в большую сторону.
Ответ: 75,3

5) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{13}$
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} \cdot \sqrt{d} = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d}$.
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 13} = \sqrt{1560}$.
Вычислим значение на калькуляторе: $\sqrt{1560} \approx 39,49683...$
Округляем результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем в большую сторону.
Ответ: 39,5

6) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$
Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} \cdot \sqrt{d} = \sqrt{a \cdot b \cdot c \cdot d}$.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{210}$.
Вычислим значение на калькуляторе: $\sqrt{210} \approx 14,49137...$
Округляем результат до десятых. Так как вторая цифра после запятой (9) больше или равна 5, округляем в большую сторону.
Ответ: 14,5

427. Доказать равенство

$\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - b}} = \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}}$, если $a \ge \sqrt{b}, b \ge 0$.

Для доказательства данного равенства возведем в квадрат его правую часть. Этот метод корректен, поскольку обе части равенства неотрицательны при заданных условиях $a \ge \sqrt{b}$ и $b \ge 0$.

Сначала убедимся, что все выражения под корнями неотрицательны:

1. Из условия $b \ge 0$ следует, что $\sqrt{b}$ является действительным числом.

2. Из условия $a \ge \sqrt{b}$ следует, что разность $a - \sqrt{b} \ge 0$.

3. Так как $a \ge \sqrt{b}$ и $\sqrt{b} \ge 0$, то $a \ge 0$. Следовательно, сумма $a + \sqrt{b} \ge 0$.

4. Возведя в квадрат неравенство $a \ge \sqrt{b}$ (обе части неотрицательны), получаем $a^2 \ge b$, откуда $a^2 - b \ge 0$.

Таким образом, все квадратные корни в выражении определены, и обе части равенства являются неотрицательными действительными числами.

Теперь возведем правую часть равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}})^2 = (\sqrt{a + \sqrt{b}})^2 + 2 \cdot \sqrt{a + \sqrt{b}} \cdot \sqrt{a - \sqrt{b}} + (\sqrt{a - \sqrt{b}})^2$

Упростим полученное выражение. Квадратный корень и возведение в квадрат взаимно уничтожаются:

$= (a + \sqrt{b}) + 2\sqrt{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} + (a - \sqrt{b})$

Для выражения под корнем применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$= (a + \sqrt{b}) + 2\sqrt{a^2 - (\sqrt{b})^2} + (a - \sqrt{b})$

$= a + \sqrt{b} + 2\sqrt{a^2 - b} + a - \sqrt{b}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (a+a) + (\sqrt{b} - \sqrt{b}) + 2\sqrt{a^2 - b} = 2a + 2\sqrt{a^2 - b}$

Полученное выражение $2a + 2\sqrt{a^2 - b}$ в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части исходного равенства. Поскольку квадрат правой части равен подкоренному выражению левой части, и обе части исходного равенства неотрицательны, то равенство $\sqrt{2a + 2\sqrt{a^2 - b}} = \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}}$ является верным.

Ответ: Равенство доказано.

428. Построить график функции:

1) $y=\sqrt{x^2}$;

2) $y=\sqrt{(x-1)^2}$.

1)

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{x^2}$, необходимо сначала упростить данное выражение. По определению, арифметический квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа:

$\sqrt{a^2} = |a|$

Применяя это свойство к нашей функции, получаем:

$y = \sqrt{x^2} = |x|$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = |x|$ (модуль $x$).

Раскроем модуль по определению:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей:

1. Для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$) график совпадает с графиком прямой $y = x$. Это луч, выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точки (1, 1), (2, 2) и т.д. Этот луч является биссектрисой I координатного угла.
2. Для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$) график совпадает с графиком прямой $y = -x$. Это луч, также выходящий из начала координат (0, 0) и проходящий через точки (-1, 1), (-2, 2) и т.д. Этот луч является биссектрисой II координатного угла.

Совместив эти два луча, мы получаем график, который имеет форму "галочки" или буквы "V" с вершиной в точке (0, 0).

Ответ: График функции $y=\sqrt{x^2}$ совпадает с графиком функции $y=|x|$. Он состоит из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

2)

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{(x-1)^2}$, мы используем то же свойство, что и в первом пункте: $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a = x-1$.

Таким образом, функция принимает вид:

$y = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$

Теперь нам нужно построить график функции $y = |x-1|$.

Этот график можно получить из графика функции $y = |x|$, который мы построили в предыдущем задании, с помощью геометрического преобразования. График функции $y = f(x-c)$ получается из графика функции $y=f(x)$ сдвигом на $c$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). В нашем случае $f(x)=|x|$ и $c=1$. Значит, нам нужно сдвинуть график $y = |x|$ на 1 единицу вправо.

Вершина "галочки" сместится из точки (0, 0) в точку (1, 0).

Также можно построить график, раскрыв модуль по определению:

$y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \\ -(x-1), & \text{если } x-1 < 0 \implies x < 1 \end{cases}$

То есть:

$y = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \ge 1 \\ -x+1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, выходящих из общей точки (1, 0):

1. Луч $y = x-1$ для $x \ge 1$. Он проходит через точки (1, 0), (2, 1), (3, 2).
2. Луч $y = -x+1$ для $x < 1$. Он проходит через точки (1, 0), (0, 1), (-1, 2).

Объединив лучи, мы получаем "галочку", вершина которой находится в точке (1, 0).

Ответ: График функции $y=\sqrt{(x-1)^2}$ совпадает с графиком функции $y=|x-1|$. Он представляет собой график $y=|x|$, сдвинутый на 1 единицу вправо вдоль оси Ox. Вершина графика находится в точке (1, 0).