Страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

408. Найти среднее геометрическое чисел:

1) 8 и 50;

2) 32 и 50;

3) 108 и 27;

4) 27 и 12.

Среднее геометрическое двух неотрицательных чисел a и b — это число, равное квадратному корню из их произведения. Оно вычисляется по формуле:

$g = \sqrt{a \cdot b}$

Применим эту формулу для решения каждого подпункта.

1) 8 и 50

Найдем среднее геометрическое чисел 8 и 50, подставив их в формулу:

$g = \sqrt{8 \cdot 50} = \sqrt{400} = 20$

Ответ: 20

2) 32 и 50

Аналогично найдем среднее геометрическое для чисел 32 и 50:

$g = \sqrt{32 \cdot 50} = \sqrt{1600} = 40$

Ответ: 40

3) 108 и 27

Найдем среднее геометрическое для чисел 108 и 27. Чтобы упростить вычисление корня, разложим подкоренное выражение на множители:

$g = \sqrt{108 \cdot 27} = \sqrt{(36 \cdot 3) \cdot 27} = \sqrt{36 \cdot (3 \cdot 27)} = \sqrt{36 \cdot 81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{81} = 6 \cdot 9 = 54$

Ответ: 54

4) 27 и 12

Найдем среднее геометрическое для чисел 27 и 12, также предварительно разложив их на множители:

$g = \sqrt{27 \cdot 12} = \sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{9} = 6 \cdot 3 = 18$

Ответ: 18

409. Вычислить с помощью разложения подкоренного выражения на множители:

1) $\sqrt{3136}$;

2) $\sqrt{6084}$;

3) $\sqrt{4356}$;

4) $\sqrt{1764}$.

1) Для вычисления $\sqrt{3136}$ разложим число 3136 на простые множители. Число четное, поэтому последовательно делим его на 2:
$3136 = 2 \cdot 1568 = 2^2 \cdot 784 = 2^3 \cdot 392 = 2^4 \cdot 196 = 2^5 \cdot 98 = 2^6 \cdot 49$.
Число 49 является квадратом 7, то есть $49 = 7^2$.
Следовательно, разложение на простые множители имеет вид: $3136 = 2^6 \cdot 7^2$.
Теперь извлечем квадратный корень, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$\sqrt{3136} = \sqrt{2^6 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3 \cdot 7)^2} = 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56

2) Для вычисления $\sqrt{6084}$ разложим число 6084 на простые множители.
Сначала делим на 2: $6084 = 2 \cdot 3042 = 2^2 \cdot 1521$.
Сумма цифр числа 1521 равна $1+5+2+1=9$. Так как 9 делится на 3 и на 9, то и 1521 делится на 9. $1521 = 9 \cdot 169 = 3^2 \cdot 169$.
Число 169 является квадратом 13: $169 = 13^2$.
Таким образом, разложение на простые множители: $6084 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{6084} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 13)^2} = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78$.
Ответ: 78

3) Для вычисления $\sqrt{4356}$ разложим число 4356 на простые множители.
Сначала делим на 2: $4356 = 2 \cdot 2178 = 2^2 \cdot 1089$.
Сумма цифр числа 1089 равна $1+0+8+9=18$. Так как 18 делится на 9, то и 1089 делится на 9. $1089 = 9 \cdot 121 = 3^2 \cdot 121$.
Число 121 является квадратом 11: $121 = 11^2$.
Таким образом, разложение на простые множители: $4356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{4356} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 11)^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 6 \cdot 11 = 66$.
Ответ: 66

4) Для вычисления $\sqrt{1764}$ разложим число 1764 на простые множители.
Сначала делим на 2: $1764 = 2 \cdot 882 = 2^2 \cdot 441$.
Сумма цифр числа 441 равна $4+4+1=9$. Так как 9 делится на 9, то и 441 делится на 9. $441 = 9 \cdot 49 = 3^2 \cdot 49$.
Число 49 является квадратом 7: $49 = 7^2$.
Таким образом, разложение на простые множители: $1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{1764} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7)^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42

Вычислить (410-413).

410. 1) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32};$

2) $\sqrt{10} \cdot \sqrt{90};$

3) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{21};$

4) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{11};$

5) $\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3};$

6) $\sqrt{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}}.$

1)

Чтобы вычислить произведение корней $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64}$

Квадратный корень из 64 равен 8, так как $8^2 = 64$.

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

2)

Аналогично предыдущему примеру, применяем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{10} \cdot \sqrt{90} = \sqrt{10 \cdot 90} = \sqrt{900}$

Квадратный корень из 900 равен 30, так как $30^2 = 900$.

$\sqrt{900} = 30$

Ответ: 30

3)

Для произведения трех корней используем то же свойство: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 21}$

Так как $3 \cdot 7 = 21$, получаем:

$\sqrt{21 \cdot 21} = \sqrt{21^2} = 21$

Ответ: 21

4)

Применяем свойство произведения корней.

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{22} \cdot \sqrt{11} = \sqrt{2 \cdot 22 \cdot 11}$

Разложим число 22 на множители: $22 = 2 \cdot 11$.

$\sqrt{2 \cdot (2 \cdot 11) \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(2 \cdot 11)^2} = \sqrt{22^2}$

$\sqrt{22^2} = 22$

Ответ: 22

5)

Воспользуемся свойством произведения корней для дробей.

$\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 3}$

Выполним умножение под корнем, сокращая множители:

$\sqrt{\frac{1 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{3}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3}}} = \sqrt{1}$

$\sqrt{1} = 1$

Ответ: 1

6)

Применяем свойство произведения корней.

$\sqrt{\frac{2}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}} = \sqrt{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{8}}$

Умножим дроби под знаком корня, сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\sqrt{\frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7}}{\cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot 8}} = \sqrt{\frac{2}{8}}$

Сократим дробь $\frac{2}{8}$ на 2:

$\sqrt{\frac{1}{4}}$

Извлекаем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

411. 1) $\sqrt{113^2 - 112^2}$;

2) $\sqrt{82^2 - 18^2}$;

3) $\sqrt{65^2 - 63^2}$;

4) $\sqrt{313^2 - 312^2}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{113^2 - 112^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 113$, а $b = 112$. Применим формулу к подкоренному выражению:

$113^2 - 112^2 = (113 - 112)(113 + 112)$

Выполним действия в скобках:

$113 - 112 = 1$

$113 + 112 = 225$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sqrt{1 \cdot 225} = \sqrt{225}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{225} = 15$

Ответ: 15

2) Для вычисления $\sqrt{82^2 - 18^2}$ также используем формулу разности квадратов. Здесь $a = 82$ и $b = 18$.

$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82 - 18)(82 + 18)}$

Вычислим значения в скобках:

$82 - 18 = 64$

$82 + 18 = 100$

Подставим полученные значения обратно под корень:

$\sqrt{64 \cdot 100}$

Используя свойство корня $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$, получаем:

$\sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80$

Ответ: 80

3) Вычислим $\sqrt{65^2 - 63^2}$. Снова применим формулу разности квадратов, где $a = 65$ и $b = 63$.

$\sqrt{65^2 - 63^2} = \sqrt{(65 - 63)(65 + 63)}$

Найдем значения выражений в скобках:

$65 - 63 = 2$

$65 + 63 = 128$

Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2 \cdot 128} = \sqrt{256}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{256} = 16$

Ответ: 16

4) Вычислим $\sqrt{313^2 - 312^2}$. Используем формулу разности квадратов, где $a = 313$ и $b = 312$.

$\sqrt{313^2 - 312^2} = \sqrt{(313 - 312)(313 + 312)}$

Выполним вычисления в скобках:

$313 - 312 = 1$

$313 + 312 = 625$

Подставим результаты под корень:

$\sqrt{1 \cdot 625} = \sqrt{625}$

Найдем значение квадратного корня:

$\sqrt{625} = 25$

Ответ: 25

412. 1) $\sqrt{5^4 \cdot 3^2}$;

2) $\sqrt{7^4 \cdot 2^6}$;

3) $\sqrt{(-5)^6 \cdot (0,1)^2}$;

4) $\sqrt{12^2 \cdot 3^4}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{5^4 \cdot 3^2}$ воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Свойство извлечения корня из степени: $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. Так как основания степеней положительные, модуль можно опустить.
Разделим корень на два множителя:
$\sqrt{5^4 \cdot 3^2} = \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{3^2}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя, разделив показатель степени на 2:
$\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$
$\sqrt{3^2} = 3^{2/2} = 3^1 = 3$
Перемножим полученные результаты:
$25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: 75.

2) Аналогично предыдущему примеру, вычислим $\sqrt{7^4 \cdot 2^6}$.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{7^4 \cdot 2^6} = \sqrt{7^4} \cdot \sqrt{2^6}$
Извлечем корни из степеней, разделив показатели на 2:
$\sqrt{7^4} = 7^{4/2} = 7^2 = 49$
$\sqrt{2^6} = 2^{6/2} = 2^3 = 8$
Перемножим результаты:
$49 \cdot 8 = 392$.
Ответ: 392.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-5)^6 \cdot (0,1)^2}$.
Сначала обратим внимание на множитель $(-5)^6$. Так как степень четная (6), результат возведения в степень будет положительным: $(-5)^6 = 5^6$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде: $\sqrt{5^6 \cdot (0,1)^2}$.
Далее используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{5^6 \cdot (0,1)^2} = \sqrt{5^6} \cdot \sqrt{(0,1)^2}$
Извлекаем корни:
$\sqrt{5^6} = 5^{6/2} = 5^3 = 125$
$\sqrt{(0,1)^2} = 0,1^{2/2} = 0,1$
Вычисляем произведение:
$125 \cdot 0,1 = 12,5$.
Ответ: 12,5.

4) Вычислим значение выражения $\sqrt{12^2 \cdot 3^4}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{12^2 \cdot 3^4} = \sqrt{12^2} \cdot \sqrt{3^4}$
Извлекаем корни из каждого множителя, разделив показатели степеней на 2:
$\sqrt{12^2} = 12^{2/2} = 12^1 = 12$
$\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$
Перемножаем полученные значения:
$12 \cdot 9 = 108$.
Ответ: 108.

413. 1) $(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2$;

2) $(\sqrt{7} - \sqrt{28})^2$;

3) $(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})$;

4) $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}).

1) $(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2$

Для решения этого примера сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $\sqrt{8}$ можно представить как $\sqrt{4 \cdot 2}$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2} + \sqrt{2})^2$.

Сложим слагаемые в скобках:

$2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь возведем результат в квадрат:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Ответ: $18$.

2) $(\sqrt{7} - \sqrt{28})^2$

Сначала упростим выражение в скобках. Упростим $\sqrt{28}$, представив его как $\sqrt{4 \cdot 7}$.

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$(\sqrt{7} - \sqrt{28})^2 = (\sqrt{7} - 2\sqrt{7})^2$.

Выполним вычитание в скобках:

$\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = -\sqrt{7}$.

Возведем полученное значение в квадрат:

$(-\sqrt{7})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 1 \cdot 7 = 7$.

Ответ: $7$.

3) $(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})$

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{6}$.

Применим формулу:

$(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2$.

Вычислим квадраты и найдем разность:

$7 - 6 = 1$.

Ответ: $1$.

4) $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5})$

Это выражение также является произведением суммы и разности двух чисел и решается с помощью формулы разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = 5\sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{5}$.

Применим формулу:

$(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) = (5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2$.

Вычислим каждый квадрат отдельно:

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Теперь найдем их разность:

$50 - 20 = 30$.

Ответ: $30$.

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа) (414–415):

414. 1) $\sqrt{16x}$; 2) $\sqrt{2x^2}$; 3) $\sqrt{5a^4}$; 4) $\sqrt{3a^6}$.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы из одного или нескольких из них можно было извлечь квадратный корень. Будем использовать свойство корня `$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$` (для неотрицательных `a` и `b`) и формулу `$\sqrt{c^2} = |c|$`.

1) В выражении `$\sqrt{16x}$` число 16 является полным квадратом.

`$\sqrt{16x} = \sqrt{16 \cdot x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x} = 4\sqrt{x}$`.
Так как по условию `x` - положительное число, выражение имеет смысл.
Ответ: `$4\sqrt{x}$`

2) В выражении `$\sqrt{2x^2}$` множитель `$x^2$` является полным квадратом.

`$\sqrt{2x^2} = \sqrt{2 \cdot x^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2}$`.
Поскольку `$\sqrt{x^2} = |x|$`, а по условию `x` — положительное число (`$x > 0$`), то `$|x| = x$`.
Следовательно, `$\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{2} \cdot x = x\sqrt{2}$`.
Ответ: `$x\sqrt{2}$`

3) В выражении `$\sqrt{5a^4}$` множитель `$a^4$` является полным квадратом, так как `$a^4 = (a^2)^2$`.

`$\sqrt{5a^4} = \sqrt{5 \cdot a^4} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{a^4} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{(a^2)^2}$`.
Так как `$a^2$` всегда является неотрицательным числом, то `$\sqrt{(a^2)^2} = a^2$`.
Таким образом, `$\sqrt{5} \cdot a^2 = a^2\sqrt{5}$`.
Ответ: `$a^2\sqrt{5}$`

4) В выражении `$\sqrt{3a^6}$` множитель `$a^6$` является полным квадратом, так как `$a^6 = (a^3)^2$`.

`$\sqrt{3a^6} = \sqrt{3 \cdot a^6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{(a^3)^2}$`.
Поскольку `$\sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$`, а по условию `a` — положительное число (`$a > 0$`), то `$a^3$` также положительно. Следовательно, `$|a^3| = a^3$`.
Получаем `$\sqrt{3} \cdot a^3 = a^3\sqrt{3}$`.
Ответ: `$a^3\sqrt{3}$`

415. 1) $\sqrt{8y}$;

2) $\sqrt{75a^2}$;

3) $\sqrt{7m^8}$;

4) $\sqrt{50a^3}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{8y} $, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Число 8 можно представить как произведение $ 4 \cdot 2 $, где 4 является квадратом числа 2 ($ 2^2 $).

Таким образом, выражение можно переписать: $ \sqrt{8y} = \sqrt{4 \cdot 2y} $.

Используя свойство корня из произведения $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем:

$ \sqrt{4 \cdot 2y} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2y} = 2\sqrt{2y} $.

Предполагается, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ y \ge 0 $.

Ответ: $ 2\sqrt{2y} $

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{75a^2} $. Разложим число 75 на множители.

Число 75 можно представить как $ 25 \cdot 3 $, где 25 является квадратом числа 5 ($ 5^2 $).

Множитель $ a^2 $ уже является полным квадратом.

Перепишем выражение: $ \sqrt{75a^2} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot a^2} $.

Сгруппируем полные квадраты: $ \sqrt{(25a^2) \cdot 3} $.

Вынесем множители из-под знака корня: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3} $.

Так как $ \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{a^2} = |a| $ (корень из квадрата переменной равен ее модулю), получаем:

$ 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{3} = 5|a|\sqrt{3} $.

Ответ: $ 5|a|\sqrt{3} $

3) Рассмотрим выражение $ \sqrt{7m^8} $. Число 7 является простым, поэтому его нельзя разложить на множители с полными квадратами.

Множитель $ m^8 $ можно представить как квадрат выражения $ m^4 $, то есть $ m^8 = (m^4)^2 $.

Перепишем исходное выражение: $ \sqrt{7m^8} = \sqrt{7 \cdot (m^4)^2} $.

Используя свойство корня из произведения, получаем: $ \sqrt{(m^4)^2} \cdot \sqrt{7} $.

Так как $ \sqrt{(m^4)^2} = |m^4| $, а выражение $ m^4 $ всегда неотрицательно при любом действительном значении $ m $, то $ |m^4| = m^4 $.

Следовательно, результат: $ m^4\sqrt{7} $.

Ответ: $ m^4\sqrt{7} $

4) Для выражения $ \sqrt{50a^3} $ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $ a^3 \ge 0 $, что означает $ a \ge 0 $.

Разложим на множители подкоренное выражение $ 50a^3 $.

Число 50 можно представить как $ 25 \cdot 2 $.

Степень $ a^3 $ можно представить как $ a^2 \cdot a $.

Таким образом, $ \sqrt{50a^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a} $.

Сгруппируем множители, являющиеся полными квадратами: $ \sqrt{(25a^2) \cdot 2a} $.

Вынесем множители из-под знака корня: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2a} $.

Поскольку $ \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{a^2} = |a| $, а мы установили, что $ a \ge 0 $, то $ |a| = a $.

В результате получаем: $ 5a\sqrt{2a} $.

Ответ: $ 5a\sqrt{2a} $

416. Упростить выражение:

1) $3\sqrt{20} - \sqrt{5};$

2) $\frac{1}{3}\sqrt{18} + 2\sqrt{2};$

3) $2\sqrt{27} - \sqrt{12};$

4) $2\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \frac{1}{4}\sqrt{16};$

5) $3\sqrt{48} - \sqrt{75} + \frac{1}{7}\sqrt{147}.$

1) Для упрощения выражения $3\sqrt{20} - \sqrt{5}$ необходимо привести корни к общему виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $3\sqrt{20}$. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $20 = 4 \cdot 5$. Тогда $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$. Подставим полученное значение в исходное выражение: $3 \cdot (2\sqrt{5}) - \sqrt{5} = 6\sqrt{5} - \sqrt{5}$. Теперь мы можем вычесть подобные слагаемые, так как они содержат одинаковый корень $\sqrt{5}$: $(6 - 1)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$.

2) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}\sqrt{18} + 2\sqrt{2}$, вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\frac{1}{3}\sqrt{18}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $18 = 9 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Подставим это в наше выражение: $\frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = \frac{3}{3}\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 1\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$. Сложим подобные слагаемые: $(1 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

3) Для упрощения выражения $2\sqrt{27} - \sqrt{12}$ вынесем множители из-под знака каждого корня. Для корня $\sqrt{27}$: $27 = 9 \cdot 3$, следовательно $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. Для корня $\sqrt{12}$: $12 = 4 \cdot 3$, следовательно $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Подставим упрощенные корни в исходное выражение: $2 \cdot (3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$. Выполним вычитание подобных слагаемых: $(6 - 2)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$.

4) Упростим выражение $2\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \frac{1}{4}\sqrt{16}$. Для этого упростим каждый член выражения. Первый член: $2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$. Второй член: $2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$. Третий член: $\frac{1}{4}\sqrt{16} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Теперь подставим упрощенные значения в выражение: $4\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 1$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(4 - 6)\sqrt{5} + 1 = -2\sqrt{5} + 1$. Запишем в более стандартном виде: $1 - 2\sqrt{5}$.
Ответ: $1 - 2\sqrt{5}$.

5) Упростим выражение $3\sqrt{48} - \sqrt{75} + \frac{1}{7}\sqrt{147}$. Упростим каждый корень, вынося множитель. Для $\sqrt{48}$: $48 = 16 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Для $\sqrt{75}$: $75 = 25 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$. Для $\sqrt{147}$: $147 = 49 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $3 \cdot (4\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} + \frac{1}{7} \cdot (7\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + \sqrt{3}$. Теперь сложим и вычтем коэффициенты при общем корне $\sqrt{3}$: $(12 - 5 + 1)\sqrt{3} = (7 + 1)\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Ответ: $8\sqrt{3}$.

417. Внести множитель под знак корня:

1) $2\sqrt{2}$;

2) $3\sqrt{3}$;

3) $2\sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\sqrt{28}$;

4) $10\sqrt{0.03}$.

1) Чтобы внести множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Для положительного множителя $a$ и неотрицательного подкоренного выражения $b$ справедлива формула: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$.

Применим эту формулу к выражению $2\sqrt{2}$:

$2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.

Ответ: $\sqrt{8}$.

2) Аналогично внесем множитель $3$ под знак корня в выражении $3\sqrt{3}$.

Используем ту же формулу $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$:

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Ответ: $\sqrt{27}$.

3) Данное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $2\sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\sqrt{28}$. Необходимо внести множитель под знак корня для каждого слагаемого по отдельности.

Рассмотрим первое слагаемое $2\sqrt{\frac{1}{2}}$:

$2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Рассмотрим второе слагаемое $\frac{1}{2}\sqrt{28}$:

$\frac{1}{2}\sqrt{28} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 28} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 28} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}$.

Теперь сложим полученные результаты. Исходное выражение равно:

$\sqrt{2} + \sqrt{7}$.

Дальнейшее упрощение этого выражения невозможно.

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt{7}$.

4) Внесем множитель $10$ под знак корня в выражении $10\sqrt{0,03}$.

Используем формулу $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$:

$10\sqrt{0,03} = \sqrt{10^2 \cdot 0,03} = \sqrt{100 \cdot 0,03} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

418. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены по-ложительные числа):

1) $a\sqrt{a}$;

2) $a\sqrt{2}$;

3) $a\sqrt{\frac{1}{a}}$;

4) $\frac{1}{x^2}\sqrt{3x^5}$.

1) Чтобы внести положительный множитель $a$ под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат. Таким образом, $a = \sqrt{a^2}$.

Преобразуем выражение:

$a\sqrt{a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^3}$.

Ответ: $\sqrt{a^3}$.

2) Аналогично вносим положительный множитель $a$ под знак корня, представив его в виде $\sqrt{a^2}$.

$a\sqrt{2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2a^2}$.

Ответ: $\sqrt{2a^2}$.

3) Вносим множитель $a$ под знак корня. Так как по условию $a>0$, мы можем записать $a = \sqrt{a^2}$.

$a\sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{a}}$.

Сокращаем выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{a^2}{a}} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$.

4) Вносим множитель $\frac{1}{x^2}$ под знак корня. Поскольку $x$ — положительное число, множитель $\frac{1}{x^2}$ также является положительным. Возводим его в квадрат:

$(\frac{1}{x^2})^2 = \frac{1^2}{(x^2)^2} = \frac{1}{x^4}$.

Подставляем полученное выражение под знак корня:

$\frac{1}{x^2}\sqrt{3x^5} = \sqrt{(\frac{1}{x^2})^2 \cdot 3x^5} = \sqrt{\frac{1}{x^4} \cdot 3x^5} = \sqrt{\frac{3x^5}{x^4}}$.

Упрощаем подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\sqrt{3x^{5-4}} = \sqrt{3x^1} = \sqrt{3x}$.

Ответ: $\sqrt{3x}$.

419. Сравнить:

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;

2) $2\sqrt{40}$ и $4\sqrt{10}$;

3) $2\sqrt{45}$ и $4\sqrt{20}$.

1) Сравним $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Для сравнения чисел, содержащих квадратные корни, удобно внести множители перед корнем под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Преобразуем первое число: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Преобразуем второе число: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Теперь сравним числа под корнем: $12$ и $18$.

Поскольку $12 < 18$, то и $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.

Следовательно, $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2) Сравним $2\sqrt{40}$ и $4\sqrt{10}$.

Так же, как и в предыдущем пункте, внесем множители под знак корня.

Преобразуем первое число: $2\sqrt{40} = \sqrt{2^2 \cdot 40} = \sqrt{4 \cdot 40} = \sqrt{160}$.

Преобразуем второе число: $4\sqrt{10} = \sqrt{4^2 \cdot 10} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{160}$.

Поскольку подкоренные выражения равны ($160 = 160$), то и сами числа равны.

Следовательно, $2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$.

Ответ: $2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$.

3) Сравним $2\sqrt{45}$ и $4\sqrt{20}$.

Внесем множители под знак корня для обоих выражений.

Преобразуем первое число: $2\sqrt{45} = \sqrt{2^2 \cdot 45} = \sqrt{4 \cdot 45} = \sqrt{180}$.

Преобразуем второе число: $4\sqrt{20} = \sqrt{4^2 \cdot 20} = \sqrt{16 \cdot 20} = \sqrt{320}$.

Теперь сравним числа под корнем: $180$ и $320$.

Поскольку $180 < 320$, то и $\sqrt{180} < \sqrt{320}$.

Следовательно, $2\sqrt{45} < 4\sqrt{20}$.

Ответ: $2\sqrt{45} < 4\sqrt{20}$.