Номер 413, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 413, страница 168.

Условие.

413. 1) $(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2$;

2) $(\sqrt{7} - \sqrt{28})^2$;

3) $(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})$;

4) $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2$

Для решения этого примера сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $\sqrt{8}$ можно представить как $\sqrt{4 \cdot 2}$.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{8} + \sqrt{2})^2 = (2\sqrt{2} + \sqrt{2})^2$.

Сложим слагаемые в скобках:

$2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Теперь возведем результат в квадрат:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Ответ: $18$.

2) $(\sqrt{7} - \sqrt{28})^2$

Сначала упростим выражение в скобках. Упростим $\sqrt{28}$, представив его как $\sqrt{4 \cdot 7}$.

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.

Подставим упрощенное значение в исходное выражение:

$(\sqrt{7} - \sqrt{28})^2 = (\sqrt{7} - 2\sqrt{7})^2$.

Выполним вычитание в скобках:

$\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = -\sqrt{7}$.

Возведем полученное значение в квадрат:

$(-\sqrt{7})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 1 \cdot 7 = 7$.

Ответ: $7$.

3) $(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})$

Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = \sqrt{7}$ и $b = \sqrt{6}$.

Применим формулу:

$(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2$.

Вычислим квадраты и найдем разность:

$7 - 6 = 1$.

Ответ: $1$.

4) $(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5})$

Это выражение также является произведением суммы и разности двух чисел и решается с помощью формулы разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = 5\sqrt{2}$ и $b = 2\sqrt{5}$.

Применим формулу:

$(5\sqrt{2} + 2\sqrt{5})(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) = (5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2$.

Вычислим каждый квадрат отдельно:

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Теперь найдем их разность:

$50 - 20 = 30$.

Ответ: $30$.