Номер 420, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 420, страница 169.

Условие.

420. Упростить:

1) $b\sqrt{\frac{a}{b}} + a\sqrt{\frac{b}{a}}$, $a > 0$, $b > 0$;

2) $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3} + 6x\sqrt{\frac{x}{4}} - x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$, $x > 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано выражение $b\sqrt{\frac{a}{b}} + a\sqrt{\frac{b}{a}}$ при условиях $a > 0$, $b > 0$.
Для упрощения этого выражения внесем множители перед корнями под знак корня. Так как по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем записать $b = \sqrt{b^2}$ и $a = \sqrt{a^2}$.
Преобразуем первое слагаемое:
$b\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{b^2 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{ab^2}{b}} = \sqrt{ab}$.
Преобразуем второе слагаемое:
$a\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a^2b}{a}} = \sqrt{ab}$.
Теперь сложим полученные результаты:
$\sqrt{ab} + \sqrt{ab} = 2\sqrt{ab}$.
Ответ: $2\sqrt{ab}$.

2) Дано выражение $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3} + 6x\sqrt{\frac{x}{4}} - x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$ при условии $x > 0$.
Упростим каждое слагаемое по отдельности.
Для первого слагаемого $\frac{2}{3}\sqrt{9x^3}$, вынесем множитель из-под знака корня. Учитывая, что $x>0$:
$\frac{2}{3}\sqrt{9x^3} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot x\sqrt{x} = 2x\sqrt{x}$.
Для второго слагаемого $6x\sqrt{\frac{x}{4}}$, воспользуемся свойством корня из дроби:
$6x\sqrt{\frac{x}{4}} = 6x \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4}} = 6x \frac{\sqrt{x}}{2} = 3x\sqrt{x}$.
Для третьего слагаемого $-x^2\sqrt{\frac{1}{x}}$, внесем $x^2$ под знак корня. Так как $x > 0$, $x^2 = \sqrt{x^4}$:
$-x^2\sqrt{\frac{1}{x}} = -\sqrt{(x^2)^2 \cdot \frac{1}{x}} = -\sqrt{x^4 \cdot \frac{1}{x}} = -\sqrt{x^3} = -\sqrt{x^2 \cdot x} = -x\sqrt{x}$.
Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение и приведем подобные члены:
$2x\sqrt{x} + 3x\sqrt{x} - x\sqrt{x} = (2 + 3 - 1)x\sqrt{x} = 4x\sqrt{x}$.
Ответ: $4x\sqrt{x}$.