Номер 415, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 415, страница 168.

Условие.

415. 1) $\sqrt{8y}$;

2) $\sqrt{75a^2}$;

3) $\sqrt{7m^8}$;

4) $\sqrt{50a^3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt{8y} $, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из множителей был полным квадратом.

Число 8 можно представить как произведение $ 4 \cdot 2 $, где 4 является квадратом числа 2 ($ 2^2 $).

Таким образом, выражение можно переписать: $ \sqrt{8y} = \sqrt{4 \cdot 2y} $.

Используя свойство корня из произведения $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем:

$ \sqrt{4 \cdot 2y} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2y} = 2\sqrt{2y} $.

Предполагается, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ y \ge 0 $.

Ответ: $ 2\sqrt{2y} $

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{75a^2} $. Разложим число 75 на множители.

Число 75 можно представить как $ 25 \cdot 3 $, где 25 является квадратом числа 5 ($ 5^2 $).

Множитель $ a^2 $ уже является полным квадратом.

Перепишем выражение: $ \sqrt{75a^2} = \sqrt{25 \cdot 3 \cdot a^2} $.

Сгруппируем полные квадраты: $ \sqrt{(25a^2) \cdot 3} $.

Вынесем множители из-под знака корня: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3} $.

Так как $ \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{a^2} = |a| $ (корень из квадрата переменной равен ее модулю), получаем:

$ 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{3} = 5|a|\sqrt{3} $.

Ответ: $ 5|a|\sqrt{3} $

3) Рассмотрим выражение $ \sqrt{7m^8} $. Число 7 является простым, поэтому его нельзя разложить на множители с полными квадратами.

Множитель $ m^8 $ можно представить как квадрат выражения $ m^4 $, то есть $ m^8 = (m^4)^2 $.

Перепишем исходное выражение: $ \sqrt{7m^8} = \sqrt{7 \cdot (m^4)^2} $.

Используя свойство корня из произведения, получаем: $ \sqrt{(m^4)^2} \cdot \sqrt{7} $.

Так как $ \sqrt{(m^4)^2} = |m^4| $, а выражение $ m^4 $ всегда неотрицательно при любом действительном значении $ m $, то $ |m^4| = m^4 $.

Следовательно, результат: $ m^4\sqrt{7} $.

Ответ: $ m^4\sqrt{7} $

4) Для выражения $ \sqrt{50a^3} $ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $ a^3 \ge 0 $, что означает $ a \ge 0 $.

Разложим на множители подкоренное выражение $ 50a^3 $.

Число 50 можно представить как $ 25 \cdot 2 $.

Степень $ a^3 $ можно представить как $ a^2 \cdot a $.

Таким образом, $ \sqrt{50a^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a} $.

Сгруппируем множители, являющиеся полными квадратами: $ \sqrt{(25a^2) \cdot 2a} $.

Вынесем множители из-под знака корня: $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2a} $.

Поскольку $ \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{a^2} = |a| $, а мы установили, что $ a \ge 0 $, то $ |a| = a $.

В результате получаем: $ 5a\sqrt{2a} $.

Ответ: $ 5a\sqrt{2a} $