Номер 412, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 412, страница 168.

Условие.

412. 1) $\sqrt{5^4 \cdot 3^2}$;

2) $\sqrt{7^4 \cdot 2^6}$;

3) $\sqrt{(-5)^6 \cdot (0,1)^2}$;

4) $\sqrt{12^2 \cdot 3^4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{5^4 \cdot 3^2}$ воспользуемся свойствами квадратного корня и степеней. Свойство корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$). Свойство извлечения корня из степени: $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$. Так как основания степеней положительные, модуль можно опустить.
Разделим корень на два множителя:
$\sqrt{5^4 \cdot 3^2} = \sqrt{5^4} \cdot \sqrt{3^2}$
Теперь извлечем корень из каждого множителя, разделив показатель степени на 2:
$\sqrt{5^4} = 5^{4/2} = 5^2 = 25$
$\sqrt{3^2} = 3^{2/2} = 3^1 = 3$
Перемножим полученные результаты:
$25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: 75.

2) Аналогично предыдущему примеру, вычислим $\sqrt{7^4 \cdot 2^6}$.
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{7^4 \cdot 2^6} = \sqrt{7^4} \cdot \sqrt{2^6}$
Извлечем корни из степеней, разделив показатели на 2:
$\sqrt{7^4} = 7^{4/2} = 7^2 = 49$
$\sqrt{2^6} = 2^{6/2} = 2^3 = 8$
Перемножим результаты:
$49 \cdot 8 = 392$.
Ответ: 392.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{(-5)^6 \cdot (0,1)^2}$.
Сначала обратим внимание на множитель $(-5)^6$. Так как степень четная (6), результат возведения в степень будет положительным: $(-5)^6 = 5^6$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде: $\sqrt{5^6 \cdot (0,1)^2}$.
Далее используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{5^6 \cdot (0,1)^2} = \sqrt{5^6} \cdot \sqrt{(0,1)^2}$
Извлекаем корни:
$\sqrt{5^6} = 5^{6/2} = 5^3 = 125$
$\sqrt{(0,1)^2} = 0,1^{2/2} = 0,1$
Вычисляем произведение:
$125 \cdot 0,1 = 12,5$.
Ответ: 12,5.

4) Вычислим значение выражения $\sqrt{12^2 \cdot 3^4}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{12^2 \cdot 3^4} = \sqrt{12^2} \cdot \sqrt{3^4}$
Извлекаем корни из каждого множителя, разделив показатели степеней на 2:
$\sqrt{12^2} = 12^{2/2} = 12^1 = 12$
$\sqrt{3^4} = 3^{4/2} = 3^2 = 9$
Перемножаем полученные значения:
$12 \cdot 9 = 108$.
Ответ: 108.