Номер 411, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 411, страница 168.

Условие.

411. 1) $\sqrt{113^2 - 112^2}$;

2) $\sqrt{82^2 - 18^2}$;

3) $\sqrt{65^2 - 63^2}$;

4) $\sqrt{313^2 - 312^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{113^2 - 112^2}$ воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 113$, а $b = 112$. Применим формулу к подкоренному выражению:

$113^2 - 112^2 = (113 - 112)(113 + 112)$

Выполним действия в скобках:

$113 - 112 = 1$

$113 + 112 = 225$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sqrt{1 \cdot 225} = \sqrt{225}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{225} = 15$

Ответ: 15

2) Для вычисления $\sqrt{82^2 - 18^2}$ также используем формулу разности квадратов. Здесь $a = 82$ и $b = 18$.

$\sqrt{82^2 - 18^2} = \sqrt{(82 - 18)(82 + 18)}$

Вычислим значения в скобках:

$82 - 18 = 64$

$82 + 18 = 100$

Подставим полученные значения обратно под корень:

$\sqrt{64 \cdot 100}$

Используя свойство корня $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$, получаем:

$\sqrt{64} \cdot \sqrt{100} = 8 \cdot 10 = 80$

Ответ: 80

3) Вычислим $\sqrt{65^2 - 63^2}$. Снова применим формулу разности квадратов, где $a = 65$ и $b = 63$.

$\sqrt{65^2 - 63^2} = \sqrt{(65 - 63)(65 + 63)}$

Найдем значения выражений в скобках:

$65 - 63 = 2$

$65 + 63 = 128$

Подставим эти значения в выражение:

$\sqrt{2 \cdot 128} = \sqrt{256}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{256} = 16$

Ответ: 16

4) Вычислим $\sqrt{313^2 - 312^2}$. Используем формулу разности квадратов, где $a = 313$ и $b = 312$.

$\sqrt{313^2 - 312^2} = \sqrt{(313 - 312)(313 + 312)}$

Выполним вычисления в скобках:

$313 - 312 = 1$

$313 + 312 = 625$

Подставим результаты под корень:

$\sqrt{1 \cdot 625} = \sqrt{625}$

Найдем значение квадратного корня:

$\sqrt{625} = 25$

Ответ: 25