Номер 416, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 416, страница 168.

Условие.

416. Упростить выражение:

1) $3\sqrt{20} - \sqrt{5};$

2) $\frac{1}{3}\sqrt{18} + 2\sqrt{2};$

3) $2\sqrt{27} - \sqrt{12};$

4) $2\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \frac{1}{4}\sqrt{16};$

5) $3\sqrt{48} - \sqrt{75} + \frac{1}{7}\sqrt{147}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения выражения $3\sqrt{20} - \sqrt{5}$ необходимо привести корни к общему виду. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $3\sqrt{20}$. Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $20 = 4 \cdot 5$. Тогда $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$. Подставим полученное значение в исходное выражение: $3 \cdot (2\sqrt{5}) - \sqrt{5} = 6\sqrt{5} - \sqrt{5}$. Теперь мы можем вычесть подобные слагаемые, так как они содержат одинаковый корень $\sqrt{5}$: $(6 - 1)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{5}$.

2) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{3}\sqrt{18} + 2\sqrt{2}$, вынесем множитель из-под знака корня в слагаемом $\frac{1}{3}\sqrt{18}$. Разложим подкоренное выражение на множители: $18 = 9 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$. Подставим это в наше выражение: $\frac{1}{3} \cdot (3\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = \frac{3}{3}\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 1\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$. Сложим подобные слагаемые: $(1 + 2)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ответ: $3\sqrt{2}$.

3) Для упрощения выражения $2\sqrt{27} - \sqrt{12}$ вынесем множители из-под знака каждого корня. Для корня $\sqrt{27}$: $27 = 9 \cdot 3$, следовательно $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. Для корня $\sqrt{12}$: $12 = 4 \cdot 3$, следовательно $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Подставим упрощенные корни в исходное выражение: $2 \cdot (3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$. Выполним вычитание подобных слагаемых: $(6 - 2)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$.

4) Упростим выражение $2\sqrt{20} - 2\sqrt{45} + \frac{1}{4}\sqrt{16}$. Для этого упростим каждый член выражения. Первый член: $2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \cdot 5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$. Второй член: $2\sqrt{45} = 2\sqrt{9 \cdot 5} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$. Третий член: $\frac{1}{4}\sqrt{16} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Теперь подставим упрощенные значения в выражение: $4\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 1$. Сгруппируем подобные слагаемые: $(4 - 6)\sqrt{5} + 1 = -2\sqrt{5} + 1$. Запишем в более стандартном виде: $1 - 2\sqrt{5}$.
Ответ: $1 - 2\sqrt{5}$.

5) Упростим выражение $3\sqrt{48} - \sqrt{75} + \frac{1}{7}\sqrt{147}$. Упростим каждый корень, вынося множитель. Для $\sqrt{48}$: $48 = 16 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Для $\sqrt{75}$: $75 = 25 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$. Для $\sqrt{147}$: $147 = 49 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$. Подставим упрощенные значения в исходное выражение: $3 \cdot (4\sqrt{3}) - 5\sqrt{3} + \frac{1}{7} \cdot (7\sqrt{3}) = 12\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + \sqrt{3}$. Теперь сложим и вычтем коэффициенты при общем корне $\sqrt{3}$: $(12 - 5 + 1)\sqrt{3} = (7 + 1)\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.
Ответ: $8\sqrt{3}$.