Номер 409, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 409, страница 168.

Условие.

409. Вычислить с помощью разложения подкоренного выражения на множители:

1) $\sqrt{3136}$;

2) $\sqrt{6084}$;

3) $\sqrt{4356}$;

4) $\sqrt{1764}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для вычисления $\sqrt{3136}$ разложим число 3136 на простые множители. Число четное, поэтому последовательно делим его на 2:
$3136 = 2 \cdot 1568 = 2^2 \cdot 784 = 2^3 \cdot 392 = 2^4 \cdot 196 = 2^5 \cdot 98 = 2^6 \cdot 49$.
Число 49 является квадратом 7, то есть $49 = 7^2$.
Следовательно, разложение на простые множители имеет вид: $3136 = 2^6 \cdot 7^2$.
Теперь извлечем квадратный корень, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$\sqrt{3136} = \sqrt{2^6 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^3 \cdot 7)^2} = 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: 56

2) Для вычисления $\sqrt{6084}$ разложим число 6084 на простые множители.
Сначала делим на 2: $6084 = 2 \cdot 3042 = 2^2 \cdot 1521$.
Сумма цифр числа 1521 равна $1+5+2+1=9$. Так как 9 делится на 3 и на 9, то и 1521 делится на 9. $1521 = 9 \cdot 169 = 3^2 \cdot 169$.
Число 169 является квадратом 13: $169 = 13^2$.
Таким образом, разложение на простые множители: $6084 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{6084} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 13^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 13)^2} = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 6 \cdot 13 = 78$.
Ответ: 78

3) Для вычисления $\sqrt{4356}$ разложим число 4356 на простые множители.
Сначала делим на 2: $4356 = 2 \cdot 2178 = 2^2 \cdot 1089$.
Сумма цифр числа 1089 равна $1+0+8+9=18$. Так как 18 делится на 9, то и 1089 делится на 9. $1089 = 9 \cdot 121 = 3^2 \cdot 121$.
Число 121 является квадратом 11: $121 = 11^2$.
Таким образом, разложение на простые множители: $4356 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{4356} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 11)^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 6 \cdot 11 = 66$.
Ответ: 66

4) Для вычисления $\sqrt{1764}$ разложим число 1764 на простые множители.
Сначала делим на 2: $1764 = 2 \cdot 882 = 2^2 \cdot 441$.
Сумма цифр числа 441 равна $4+4+1=9$. Так как 9 делится на 9, то и 441 делится на 9. $441 = 9 \cdot 49 = 3^2 \cdot 49$.
Число 49 является квадратом 7: $49 = 7^2$.
Таким образом, разложение на простые множители: $1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.
Теперь извлечем квадратный корень:
$\sqrt{1764} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7)^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 6 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42