Номер 414, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 414, страница 168.

Условие.

Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены положительные числа) (414–415):

414. 1) $\sqrt{16x}$; 2) $\sqrt{2x^2}$; 3) $\sqrt{5a^4}$; 4) $\sqrt{3a^6}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы вынести множитель из-под знака корня, нужно разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы из одного или нескольких из них можно было извлечь квадратный корень. Будем использовать свойство корня `$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$` (для неотрицательных `a` и `b`) и формулу `$\sqrt{c^2} = |c|$`.

1) В выражении `$\sqrt{16x}$` число 16 является полным квадратом.

`$\sqrt{16x} = \sqrt{16 \cdot x} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x} = 4\sqrt{x}$`.
Так как по условию `x` - положительное число, выражение имеет смысл.
Ответ: `$4\sqrt{x}$`

2) В выражении `$\sqrt{2x^2}$` множитель `$x^2$` является полным квадратом.

`$\sqrt{2x^2} = \sqrt{2 \cdot x^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2}$`.
Поскольку `$\sqrt{x^2} = |x|$`, а по условию `x` — положительное число (`$x > 0$`), то `$|x| = x$`.
Следовательно, `$\sqrt{2} \cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{2} \cdot x = x\sqrt{2}$`.
Ответ: `$x\sqrt{2}$`

3) В выражении `$\sqrt{5a^4}$` множитель `$a^4$` является полным квадратом, так как `$a^4 = (a^2)^2$`.

`$\sqrt{5a^4} = \sqrt{5 \cdot a^4} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{a^4} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{(a^2)^2}$`.
Так как `$a^2$` всегда является неотрицательным числом, то `$\sqrt{(a^2)^2} = a^2$`.
Таким образом, `$\sqrt{5} \cdot a^2 = a^2\sqrt{5}$`.
Ответ: `$a^2\sqrt{5}$`

4) В выражении `$\sqrt{3a^6}$` множитель `$a^6$` является полным квадратом, так как `$a^6 = (a^3)^2$`.

`$\sqrt{3a^6} = \sqrt{3 \cdot a^6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{a^6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{(a^3)^2}$`.
Поскольку `$\sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$`, а по условию `a` — положительное число (`$a > 0$`), то `$a^3$` также положительно. Следовательно, `$|a^3| = a^3$`.
Получаем `$\sqrt{3} \cdot a^3 = a^3\sqrt{3}$`.
Ответ: `$a^3\sqrt{3}$`