Номер 418, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 418, страница 168.

Условие.

418. Внести множитель под знак корня (буквами обозначены по-ложительные числа):

1) $a\sqrt{a}$;

2) $a\sqrt{2}$;

3) $a\sqrt{\frac{1}{a}}$;

4) $\frac{1}{x^2}\sqrt{3x^5}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы внести положительный множитель $a$ под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат. Таким образом, $a = \sqrt{a^2}$.

Преобразуем выражение:

$a\sqrt{a} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2 \cdot a} = \sqrt{a^3}$.

Ответ: $\sqrt{a^3}$.

2) Аналогично вносим положительный множитель $a$ под знак корня, представив его в виде $\sqrt{a^2}$.

$a\sqrt{2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2a^2}$.

Ответ: $\sqrt{2a^2}$.

3) Вносим множитель $a$ под знак корня. Так как по условию $a>0$, мы можем записать $a = \sqrt{a^2}$.

$a\sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a}} = \sqrt{a^2 \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{\frac{a^2}{a}}$.

Сокращаем выражение под корнем:

$\sqrt{\frac{a^2}{a}} = \sqrt{a}$.

Ответ: $\sqrt{a}$.

4) Вносим множитель $\frac{1}{x^2}$ под знак корня. Поскольку $x$ — положительное число, множитель $\frac{1}{x^2}$ также является положительным. Возводим его в квадрат:

$(\frac{1}{x^2})^2 = \frac{1^2}{(x^2)^2} = \frac{1}{x^4}$.

Подставляем полученное выражение под знак корня:

$\frac{1}{x^2}\sqrt{3x^5} = \sqrt{(\frac{1}{x^2})^2 \cdot 3x^5} = \sqrt{\frac{1}{x^4} \cdot 3x^5} = \sqrt{\frac{3x^5}{x^4}}$.

Упрощаем подкоренное выражение, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\sqrt{3x^{5-4}} = \sqrt{3x^1} = \sqrt{3x}$.

Ответ: $\sqrt{3x}$.