Номер 425, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 425, страница 169.

Условие.

425. Сократить дробь $(a \ge 0, b \ge 0):$

1) $\frac{25-a}{5+\sqrt{a}};$

2) $\frac{b-16}{4+\sqrt{b}};$

3) $\frac{0,49-a}{\sqrt{a}+0,7};$

4) $\frac{0,81-b}{0,9+\sqrt{b}}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Условие $a \ge 0$ и $b \ge 0$ позволяет представить переменные в виде квадратов их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.

1) Сократим дробь $\frac{25-a}{5+\sqrt{a}}$.

Представим числитель $25-a$ в виде разности квадратов: $25 - a = 5^2 - (\sqrt{a})^2$.

Применив формулу, получаем: $5^2 - (\sqrt{a})^2 = (5-\sqrt{a})(5+\sqrt{a})$.

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(5-\sqrt{a})(5+\sqrt{a})}{5+\sqrt{a}}$

Поскольку $a \ge 0$, знаменатель $5+\sqrt{a}$ всегда положителен и не равен нулю, поэтому мы можем сократить дробь на общий множитель $(5+\sqrt{a})$.

$\frac{(5-\sqrt{a})\cancel{(5+\sqrt{a})}}{\cancel{5+\sqrt{a}}} = 5-\sqrt{a}$

Ответ: $5-\sqrt{a}$

2) Сократим дробь $\frac{b-16}{4+\sqrt{b}}$.

Представим числитель $b-16$ в виде разности квадратов: $b-16 = (\sqrt{b})^2 - 4^2$.

По формуле разности квадратов: $(\sqrt{b})^2 - 4^2 = (\sqrt{b}-4)(\sqrt{b}+4)$.

Подставим в дробь:

$\frac{(\sqrt{b}-4)(\sqrt{b}+4)}{4+\sqrt{b}}$

Знаменатель $4+\sqrt{b}$ равен множителю в числителе $\sqrt{b}+4$. Так как $b \ge 0$, знаменатель всегда положителен. Сокращаем дробь:

$\frac{(\sqrt{b}-4)\cancel{(\sqrt{b}+4)}}{\cancel{4+\sqrt{b}}} = \sqrt{b}-4$

Ответ: $\sqrt{b}-4$

3) Сократим дробь $\frac{0.49-a}{\sqrt{a}+0.7}$.

Представим числитель $0.49-a$ в виде разности квадратов: $0.49-a = (0.7)^2 - (\sqrt{a})^2$.

Раскладываем по формуле: $(0.7)^2 - (\sqrt{a})^2 = (0.7-\sqrt{a})(0.7+\sqrt{a})$.

Подставляем в дробь:

$\frac{(0.7-\sqrt{a})(0.7+\sqrt{a})}{\sqrt{a}+0.7}$

Знаменатель $\sqrt{a}+0.7$ равен множителю $0.7+\sqrt{a}$. Так как $a \ge 0$, знаменатель всегда положителен. Сокращаем на общий множитель:

$\frac{(0.7-\sqrt{a})\cancel{(0.7+\sqrt{a})}}{\cancel{\sqrt{a}+0.7}} = 0.7-\sqrt{a}$

Ответ: $0.7-\sqrt{a}$

4) Сократим дробь $\frac{0.81-b}{0.9+\sqrt{b}}$.

Представим числитель $0.81-b$ в виде разности квадратов: $0.81 - b = (0.9)^2 - (\sqrt{b})^2$.

Раскладываем по формуле: $(0.9)^2 - (\sqrt{b})^2 = (0.9-\sqrt{b})(0.9+\sqrt{b})$.

Подставляем в дробь:

$\frac{(0.9-\sqrt{b})(0.9+\sqrt{b})}{0.9+\sqrt{b}}$

Знаменатель $0.9+\sqrt{b}$ всегда положителен, так как $b \ge 0$. Сокращаем дробь на этот общий множитель:

$\frac{(0.9-\sqrt{b})\cancel{(0.9+\sqrt{b})}}{\cancel{0.9+\sqrt{b}}} = 0.9-\sqrt{b}$

Ответ: $0.9-\sqrt{b}$