Номер 419, страница 168 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 419, страница 168.

Условие.

419. Сравнить:

1) $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$;

2) $2\sqrt{40}$ и $4\sqrt{10}$;

3) $2\sqrt{45}$ и $4\sqrt{20}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сравним $2\sqrt{3}$ и $3\sqrt{2}$.

Для сравнения чисел, содержащих квадратные корни, удобно внести множители перед корнем под знак корня. Для этого нужно возвести множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение.

Преобразуем первое число: $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$.

Преобразуем второе число: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.

Теперь сравним числа под корнем: $12$ и $18$.

Поскольку $12 < 18$, то и $\sqrt{12} < \sqrt{18}$.

Следовательно, $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$.

2) Сравним $2\sqrt{40}$ и $4\sqrt{10}$.

Так же, как и в предыдущем пункте, внесем множители под знак корня.

Преобразуем первое число: $2\sqrt{40} = \sqrt{2^2 \cdot 40} = \sqrt{4 \cdot 40} = \sqrt{160}$.

Преобразуем второе число: $4\sqrt{10} = \sqrt{4^2 \cdot 10} = \sqrt{16 \cdot 10} = \sqrt{160}$.

Поскольку подкоренные выражения равны ($160 = 160$), то и сами числа равны.

Следовательно, $2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$.

Ответ: $2\sqrt{40} = 4\sqrt{10}$.

3) Сравним $2\sqrt{45}$ и $4\sqrt{20}$.

Внесем множители под знак корня для обоих выражений.

Преобразуем первое число: $2\sqrt{45} = \sqrt{2^2 \cdot 45} = \sqrt{4 \cdot 45} = \sqrt{180}$.

Преобразуем второе число: $4\sqrt{20} = \sqrt{4^2 \cdot 20} = \sqrt{16 \cdot 20} = \sqrt{320}$.

Теперь сравним числа под корнем: $180$ и $320$.

Поскольку $180 < 320$, то и $\sqrt{180} < \sqrt{320}$.

Следовательно, $2\sqrt{45} < 4\sqrt{20}$.

Ответ: $2\sqrt{45} < 4\sqrt{20}$.