Номер 423, страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 24. Квадратный корень из произведения. Глава 4. Квадратные корни - номер 423, страница 169.

Условие.

423. Упростить выражение (буквами обозначены положительные числа):

1) $\frac{1}{3}\sqrt{9x^5} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^3} - x\sqrt{x} + x\sqrt{x^3}$;

2) $3\sqrt{0.04a^3b^3} - 2\sqrt{0.25a^3b^5} + 4b\sqrt{\frac{1}{16}a^3b^3}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Исходное выражение: $\frac{1}{3}\sqrt{9x^5} + \frac{1}{2}\sqrt{4x^3} - x\sqrt{x} + x\sqrt{x^3}$.

Для упрощения выражения необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. По условию, переменные обозначают положительные числа, поэтому $x > 0$.

Упростим каждое слагаемое:

• $\frac{1}{3}\sqrt{9x^5} = \frac{1}{3}\sqrt{9 \cdot x^4 \cdot x} = \frac{1}{3}\sqrt{(3x^2)^2 \cdot x} = \frac{1}{3} \cdot 3x^2\sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$
• $\frac{1}{2}\sqrt{4x^3} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{1}{2}\sqrt{(2x)^2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot 2x\sqrt{x} = x\sqrt{x}$
• $x\sqrt{x^3} = x\sqrt{x^2 \cdot x} = x \cdot x\sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$x^2\sqrt{x} + x\sqrt{x} - x\sqrt{x} + x^2\sqrt{x}$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(x^2\sqrt{x} + x^2\sqrt{x}) + (x\sqrt{x} - x\sqrt{x}) = 2x^2\sqrt{x} + 0 = 2x^2\sqrt{x}$

Ответ: $2x^2\sqrt{x}$

2)

Исходное выражение: $3\sqrt{0,04a^3b^3} - 2\sqrt{0,25a^3b^5} + 4b\sqrt{\frac{1}{16}a^3b^3}$.

Упростим каждый член выражения, вынося множители из-под знака корня. По условию, $a > 0$ и $b > 0$.

Упростим каждое слагаемое:

• $3\sqrt{0,04a^3b^3} = 3\sqrt{0,04 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot ab} = 3\sqrt{(0,2ab)^2 \cdot ab} = 3 \cdot 0,2ab\sqrt{ab} = 0,6ab\sqrt{ab}$
• $-2\sqrt{0,25a^3b^5} = -2\sqrt{0,25 \cdot a^2 \cdot b^4 \cdot ab} = -2\sqrt{(0,5ab^2)^2 \cdot ab} = -2 \cdot 0,5ab^2\sqrt{ab} = -ab^2\sqrt{ab}$
• $4b\sqrt{\frac{1}{16}a^3b^3} = 4b\sqrt{\frac{1}{16} \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot ab} = 4b\sqrt{(\frac{1}{4}ab)^2 \cdot ab} = 4b \cdot \frac{1}{4}ab\sqrt{ab} = ab^2\sqrt{ab}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$0,6ab\sqrt{ab} - ab^2\sqrt{ab} + ab^2\sqrt{ab}$

Приведем подобные члены. Члены $-ab^2\sqrt{ab}$ и $ab^2\sqrt{ab}$ взаимно уничтожаются:

$0,6ab\sqrt{ab} + (-ab^2\sqrt{ab} + ab^2\sqrt{ab}) = 0,6ab\sqrt{ab} + 0 = 0,6ab\sqrt{ab}$

Ответ: $0,6ab\sqrt{ab}$