Номер 1, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 1, страница 174.

Условие.

1. Сформулировать теорему о корне из дроби.

Решение 4.

1.

Теорема о корне из дроби (или свойство корня из частного) гласит: корень n-ой степени из дроби равен частному от деления корня n-ой степени из числителя на корень n-ой степени из знаменателя, при условии, что все выражения имеют смысл.

Словесная формулировка:

Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из ее числителя и знаменателя по отдельности, и первый результат разделить на второй.

Формула:

Для любого натурального числа $n \ge 2$, неотрицательного числа $a$ и положительного числа $b$ верно следующее равенство: $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $$

Условия применимости теоремы:

- Если степень корня $n$ — четное число (например, квадратный корень), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это означает, что числитель $a$ должен быть неотрицательным ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ — строго положительным ($b > 0$), так как деление на ноль недопустимо.
- Если степень корня $n$ — нечетное число (например, кубический корень), то корень можно извлекать из любого действительного числа. Поэтому числитель $a$ может быть любым, а знаменатель $b$ — любым, кроме нуля ($b \neq 0$).

Пример:

Вычислим значение выражения $\sqrt{\frac{16}{81}}$.
Здесь $n=2$ (четная степень), $a=16 \ge 0$, $b=81 > 0$. Все условия соблюдены.
Применяем теорему: $$ \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}} = \frac{4}{9} $$

Ответ: Корень n-ой степени из дроби равен отношению корня n-ой степени из числителя к корню n-ой степени из знаменателя. В виде формулы: $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $, при условии, что для четной степени $n$ значения $a \ge 0$ и $b > 0$, а для нечетной степени $n$ — $b \neq 0$.