Страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Сформулировать теорему о корне из дроби.

1.

Теорема о корне из дроби (или свойство корня из частного) гласит: корень n-ой степени из дроби равен частному от деления корня n-ой степени из числителя на корень n-ой степени из знаменателя, при условии, что все выражения имеют смысл.

Словесная формулировка:

Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из ее числителя и знаменателя по отдельности, и первый результат разделить на второй.

Формула:

Для любого натурального числа $n \ge 2$, неотрицательного числа $a$ и положительного числа $b$ верно следующее равенство: $$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $$

Условия применимости теоремы:

- Если степень корня $n$ — четное число (например, квадратный корень), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это означает, что числитель $a$ должен быть неотрицательным ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ — строго положительным ($b > 0$), так как деление на ноль недопустимо.
- Если степень корня $n$ — нечетное число (например, кубический корень), то корень можно извлекать из любого действительного числа. Поэтому числитель $a$ может быть любым, а знаменатель $b$ — любым, кроме нуля ($b \neq 0$).

Пример:

Вычислим значение выражения $\sqrt{\frac{16}{81}}$.
Здесь $n=2$ (четная степень), $a=16 \ge 0$, $b=81 > 0$. Все условия соблюдены.
Применяем теорему: $$ \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}} = \frac{4}{9} $$

Ответ: Корень n-ой степени из дроби равен отношению корня n-ой степени из числителя к корню n-ой степени из знаменателя. В виде формулы: $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $, при условии, что для четной степени $n$ значения $a \ge 0$ и $b > 0$, а для нечетной степени $n$ — $b \neq 0$.

2. Какое свойство степени с натуральным показателем применяется при доказательстве теоремы о корне из дроби?

При доказательстве теоремы о корне из дроби используется свойство степени с натуральным показателем, которое называется свойство степени дроби (или частного).

Сформулируем теорему о корне из дроби: для любого натурального числа $n \ge 2$, любого неотрицательного числа $a$ и любого положительного числа $b$ справедливо равенство:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Доказательство этой теоремы строится на определении арифметического корня n-ой степени. Чтобы доказать равенство, необходимо показать, что:

1. Выражение $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ является неотрицательным.
2. n-я степень выражения $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ равна подкоренному выражению $\frac{a}{b}$.

Первое условие выполняется, так как $\sqrt[n]{a} \ge 0$ и $\sqrt[n]{b} > 0$.

Для проверки второго условия необходимо возвести дробь $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ в степень $n$:

$(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})^n$

На этом шаге и применяется свойство степени дроби. Оно гласит, что для возведения дроби в степень нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по отдельности. Формула этого свойства выглядит так:

$(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ (где $y \ne 0$)

Применяя это свойство к нашему выражению, получаем:

$(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n}$

Далее, по определению корня n-ой степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ и $(\sqrt[n]{b})^n = b$. В результате получаем:

$\frac{a}{b}$

Таким образом, мы доказали, что n-я степень выражения $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ равна $\frac{a}{b}$, что и требовалось для доказательства теоремы.

Ответ: При доказательстве теоремы о корне из дроби применяется свойство степени дроби (частного), согласно которому степень дроби равна дроби от степеней ее числителя и знаменателя: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

3. Можно ли отношение квадратных корней из положительных чисел ($ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $) заменить квадратным корнем из отношения этих чисел ($ \sqrt{\frac{a}{b}} $)?

Да, отношение квадратных корней из положительных чисел можно заменить квадратным корнем из отношения этих чисел. Это является одним из основных свойств арифметического квадратного корня, которое известно как "корень из частного" или "корень из дроби".

Сформулируем это утверждение в виде математического тождества. Пусть у нас есть два положительных числа, a и b (то есть, $a > 0$ и $b > 0$).

Вопрос заключается в том, является ли верным следующее равенство:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Чтобы доказать это, воспользуемся определением арифметического квадратного корня. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа x называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен x.

Рассмотрим левую часть равенства — выражение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными положительными числами. Следовательно, их отношение $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ также является положительным числом.

Теперь возведем это выражение в квадрат, используя свойство степени частного:

$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$

Так как по определению квадратного корня $(\sqrt{x})^2 = x$ для любого неотрицательного x, получаем:

$\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2} = \frac{a}{b}$

Таким образом, мы показали, что положительное число $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при возведении в квадрат дает в результате дробь $\frac{a}{b}$. Это в точности соответствует определению арифметического квадратного корня из $\frac{a}{b}$. Следовательно, равенство доказано.

Проверим это свойство на конкретном примере. Пусть $a = 144$ и $b = 9$.

1. Найдем отношение квадратных корней:

$\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$

2. Найдем квадратный корень из отношения этих чисел:

$\sqrt{\frac{144}{9}} = \sqrt{16} = 4$

Результаты вычислений совпадают, что подтверждает справедливость данного свойства.

Ответ: Да, можно. Для любых положительных чисел a и b справедливо тождество $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

4. Как избавиться от иррациональности в знаменателе: $ \frac{5}{\sqrt{7}} $; $ \frac{5}{2-\sqrt{7}} $; $ \frac{5}{3+\sqrt{7}} $; $ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} $?

$ \frac{5}{\sqrt{7}} $
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, когда он представлен одним квадратным корнем, необходимо умножить и числитель, и знаменатель дроби на этот корень. Это действие основано на свойстве $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $.
Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{7} $:
$ \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} $
Ответ: $ \frac{5\sqrt{7}}{7} $

$ \frac{5}{2-\sqrt{7}} $
Когда знаменатель является двучленом вида $ a - \sqrt{b} $, для избавления от иррациональности его нужно умножить на сопряженное выражение $ a + \sqrt{b} $. Это позволяет использовать формулу разности квадратов: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $. Чтобы значение дроби не изменилось, на это же выражение нужно умножить и числитель.
Сопряженным выражением для $ 2-\sqrt{7} $ является $ 2+\sqrt{7} $.
$ \frac{5}{2-\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot (2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7}) \cdot (2+\sqrt{7})} = \frac{5(2+\sqrt{7})}{2^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{10+5\sqrt{7}}{4-7} = \frac{10+5\sqrt{7}}{-3} = -\frac{10+5\sqrt{7}}{3} $
Ответ: $ -\frac{10+5\sqrt{7}}{3} $

$ \frac{5}{3+\sqrt{7}} $
Этот случай аналогичен предыдущему. Знаменатель является двучленом вида $ a + \sqrt{b} $. Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ a - \sqrt{b} $, чтобы применить формулу разности квадратов.
Сопряженным выражением для $ 3+\sqrt{7} $ является $ 3-\sqrt{7} $.
$ \frac{5}{3+\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot (3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7}) \cdot (3-\sqrt{7})} = \frac{5(3-\sqrt{7})}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{15-5\sqrt{7}}{9-7} = \frac{15-5\sqrt{7}}{2} $
Ответ: $ \frac{15-5\sqrt{7}}{2} $

$ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} $
Здесь знаменатель представляет собой сумму двух квадратных корней $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $. Принцип остается тем же: умножение на сопряженное выражение $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ и использование формулы разности квадратов.
Сопряженным выражением для $ \sqrt{3}+\sqrt{7} $ является $ \sqrt{3}-\sqrt{7} $.
$ \frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{7}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{7})} = \frac{5(\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{3-7} = \frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{-4} = \frac{-(5\sqrt{7}-5\sqrt{3})}{-4} = \frac{5\sqrt{7}-5\sqrt{3}}{4} $
Ответ: $ \frac{5\sqrt{7}-5\sqrt{3}}{4} $

5. Сравнить среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел $m$ и $n$.

Для сравнения среднего арифметического и среднего геометрического для двух положительных чисел $m$ и $n$, необходимо сравнить значения выражений $\frac{m+n}{2}$ (среднее арифметическое) и $\sqrt{mn}$ (среднее геометрическое). По условию, $m > 0$ и $n > 0$.

Рассмотрим разность этих двух величин:

$$ \frac{m+n}{2} - \sqrt{mn} $$

Чтобы определить знак этой разности, приведем выражение к общему знаменателю:

$$ \frac{m+n - 2\sqrt{mn}}{2} $$

Числитель дроби, $m+n - 2\sqrt{mn}$, можно преобразовать, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Так как числа $m$ и $n$ по условию положительные, мы можем представить их как квадраты их арифметических квадратных корней: $m = (\sqrt{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$. Тогда числитель можно записать в виде:

$$ (\sqrt{m})^2 - 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $$

Таким образом, исходная разность равна:

$$ \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2}{2} $$

Квадрат любого действительного числа (в данном случае числа $\sqrt{m} - \sqrt{n}$) всегда является неотрицательной величиной, то есть $(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 \ge 0$. Знаменатель дроби равен 2, что является положительным числом.

Следовательно, вся дробь всегда больше или равна нулю:

$$ \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2}{2} \ge 0 $$

Отсюда следует, что разность между средним арифметическим и средним геометрическим также всегда больше или равна нулю:

$$ \frac{m+n}{2} - \sqrt{mn} \ge 0 $$

Перенеся среднее геометрическое в правую часть, получаем искомое соотношение, известное как неравенство Коши или неравенство о средних для двух чисел:

$$ \frac{m+n}{2} \ge \sqrt{mn} $$

Далее определим, при каком условии в этом неравенстве достигается равенство. Равенство возможно тогда и только тогда, когда разность равна нулю:

$$ \frac{(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2}{2} = 0 $$

Это уравнение выполняется только в том случае, если числитель равен нулю:

$$ (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 = 0 $$

$$ \sqrt{m} - \sqrt{n} = 0 $$

$$ \sqrt{m} = \sqrt{n} $$

Поскольку $m$ и $n$ — положительные числа, равенство их квадратных корней означает, что и сами числа равны: $m=n$.

Таким образом, среднее арифметическое двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому. Равенство достигается только тогда, когда эти числа равны между собой.

Ответ: Среднее арифметическое положительных чисел $m$ и $n$ больше или равно их среднему геометрическому. Это выражается неравенством $\frac{m+n}{2} \ge \sqrt{mn}$. Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $m=n$.

1. Вычислить:

1) $\sqrt{16} \cdot \sqrt{9};$

2) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{125};$

3) $\sqrt{\frac{8}{27}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}.$

1) Для вычисления выражения $ \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} $ найдем значения каждого квадратного корня и перемножим их.
Квадратный корень из 16 равен 4, так как $ 4^2 = 16 $.
Квадратный корень из 9 равен 3, так как $ 3^2 = 9 $.
Следовательно, $ \sqrt{16} \cdot \sqrt{9} = 4 \cdot 3 = 12 $.

Ответ: 12

2) Для вычисления выражения $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{125} $ воспользуемся свойством умножения корней: $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
$ \sqrt{5} \cdot \sqrt{125} = \sqrt{5 \cdot 125} = \sqrt{625} $.
Квадратный корень из 625 равен 25, так как $ 25^2 = 625 $.
Таким образом, $ \sqrt{625} = 25 $.

Ответ: 25

3) Для вычисления выражения $ \sqrt{\frac{8}{27}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} $ также используем свойство умножения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
$ \sqrt{\frac{8}{27}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{27} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 2}{27 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{16}{81}} $.
Теперь воспользуемся свойством корня из дроби $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $:
$ \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}} = \frac{4}{9} $.

Ответ: $ \frac{4}{9} $

2. Найти значение выражения: 1) $\frac{\sqrt{16}}{2}$; 2) $\frac{3}{\sqrt{25}}$; 3) $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}}$; 4) $\frac{\sqrt{7^4}}{\sqrt{7^2}}$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{16}}{2}$, необходимо сначала извлечь квадратный корень из числителя. Арифметический квадратный корень из 16 равен 4, так как $4^2 = 16$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\frac{\sqrt{16}}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: 2

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{3}{\sqrt{25}}$, вычислим значение квадратного корня в знаменателе. Арифметический квадратный корень из 25 равен 5, так как $5^2 = 25$.
Подставим полученное значение в выражение:
$\frac{3}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

3) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}}$, можно пойти двумя путями.
Способ 1: Вычислить каждый корень отдельно.
$\sqrt{100} = 10$, так как $10^2 = 100$.
$\sqrt{121} = 11$, так как $11^2 = 121$.
Тогда $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}} = \frac{10}{11}$.
Способ 2: Использовать свойство корня из частного $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{121}} = \sqrt{\frac{100}{121}} = \sqrt{(\frac{10}{11})^2} = \frac{10}{11}$.
Оба способа дают один и тот же результат.
Ответ: $\frac{10}{11}$

4) Для нахождения значения выражения $\frac{\sqrt{7^4}}{\sqrt{7^2}}$ воспользуемся свойством частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt{7^4}}{\sqrt{7^2}} = \sqrt{\frac{7^4}{7^2}}$
Далее применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\sqrt{\frac{7^4}{7^2}} = \sqrt{7^{4-2}} = \sqrt{7^2}$.
По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = a$ (при $a \ge 0$).
$\sqrt{7^2} = 7$.
Ответ: 7

3. Упростить выражение:

1) $\sqrt{18}-\sqrt{2}$;

2) $\sqrt{12}-\sqrt{75}$;

3) $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$;

4) $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2$;

5) $(\sqrt{1,31})^2$;

6) $\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}\right)^2$.

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt{18} - \sqrt{2}$, сначала упростим член $\sqrt{18}$. Для этого разложим подкоренное число 18 на множители так, чтобы один из них был полным квадратом: $18 = 9 \cdot 2$. Теперь можно вынести множитель из-под знака корня:
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$3\sqrt{2} - \sqrt{2}$.
Теперь вычтем подобные слагаемые, работая с их коэффициентами:
$(3-1)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.
Ответ: $2\sqrt{2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{12} - \sqrt{75}$ вынесем множители из-под каждого знака корня.
Для $\sqrt{12}$: $12 = 4 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Для $\sqrt{75}$: $75 = 25 \cdot 3$, поэтому $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.
Теперь выражение выглядит так:
$2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$.
Выполним вычитание подобных членов:
$(2-5)\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$.
Ответ: $-3\sqrt{3}$

3) Выражение $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$ является произведением разности и суммы двух выражений. Для его упрощения используем формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = \sqrt{2}$ и $b = 1$.
Применяем формулу:
$(\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Ответ: $1$

4) Чтобы упростить выражение $(\sqrt{8}+\sqrt{2})^2$, сначала упростим слагаемые внутри скобок.
Упростим $\sqrt{8}$: $8 = 4 \cdot 2$, значит $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.
Теперь выражение в скобках равно $2\sqrt{2} + \sqrt{2}$. Сложим подобные члены:
$2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Теперь возведем полученный результат в квадрат:
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Ответ: $18$

5) Выражение $(\sqrt{1,31})^2$ упрощается на основе определения арифметического квадратного корня. Для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$.
Так как $1,31$ является неотрицательным числом, то:
$(\sqrt{1,31})^2 = 1,31$.
Ответ: $1,31$

6) Для упрощения выражения $(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}})^2$ можно использовать свойство степени дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
Применив это свойство, получим:
$\frac{(\sqrt{5})^2}{(\sqrt{10})^2}$.
Далее, используя свойство $(\sqrt{a})^2 = a$, получим:
$\frac{5}{10}$.
Сократим полученную дробь:
$\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

Вычислить (429—432).

429. 1) $\sqrt{\frac{9}{100}};$

2) $\sqrt{\frac{100}{49}};$

3) $\sqrt{3\frac{1}{16}};$

4) $\sqrt{5\frac{4}{9}}.$

1) Для вычисления корня из дроби воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (при $a \ge 0$ и $b > 0$).

$\sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}}$

Так как $3^2 = 9$, то $\sqrt{9}=3$.

Так как $10^2 = 100$, то $\sqrt{100}=10$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Ответ: $0,3$.

2) Применим то же свойство корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{100}{49}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}}$

Мы знаем, что $\sqrt{100} = 10$ и $\sqrt{49} = 7$ (поскольку $7^2 = 49$).

Таким образом, $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{49}} = \frac{10}{7}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Ответ: $1\frac{3}{7}$.

3) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48+1}{16} = \frac{49}{16}$

Теперь вычислим корень из полученной дроби, используя свойство корня из частного.

$\sqrt{3\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}$

Так как $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{16} = 4$ (поскольку $4^2 = 16$), то

$\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ или в десятичную дробь $1,75$.

Ответ: $1\frac{3}{4}$.

4) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45+4}{9} = \frac{49}{9}$

Теперь вычислим корень из полученной дроби.

$\sqrt{5\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}$

Мы знаем, что $\sqrt{49} = 7$ и $\sqrt{9} = 3$.

Следовательно, $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}$.

Выделим целую часть: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $2\frac{1}{3}$.

430. 1) $\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{\frac{1}{9}};$

2) $5\sqrt{\frac{1}{25}} - 3\sqrt{\frac{1}{9}};$

3) $\sqrt{\frac{25}{64}} + \sqrt{\frac{49}{144}};$

4) $\sqrt{\frac{16}{81}} - \sqrt{\frac{169}{225}}.$

1) Для решения данного примера необходимо сначала извлечь квадратные корни из дробей, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, а затем сложить полученные результаты.
$\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} + \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Ответ: $1$

2) Сначала вычислим значение каждого члена выражения. Для этого извлечем корни и умножим на соответствующие коэффициенты, а затем выполним вычитание.
$5\sqrt{\frac{1}{25}} - 3\sqrt{\frac{1}{9}} = 5 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} - 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = 5 \cdot \frac{1}{5} - 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$

3) Извлекаем квадратные корни из каждой дроби, а затем складываем полученные значения.
$\sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{64}} = \frac{5}{8}$
$\sqrt{\frac{49}{144}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{144}} = \frac{7}{12}$
Теперь сложим дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{7}{12}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 равен 24.
$\frac{5}{8} + \frac{7}{12} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{15}{24} + \frac{14}{24} = \frac{15+14}{24} = \frac{29}{24}$.
Ответ: $\frac{29}{24}$

4) Извлекаем квадратные корни из каждой дроби, а затем выполняем вычитание.
$\sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}} = \frac{4}{9}$
$\sqrt{\frac{169}{225}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{225}} = \frac{13}{15}$
Теперь вычтем вторую дробь из первой: $\frac{4}{9} - \frac{13}{15}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 15 равен 45.
$\frac{4}{9} - \frac{13}{15} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{13 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{20}{45} - \frac{39}{45} = \frac{20-39}{45} = -\frac{19}{45}$.
Ответ: $-\frac{19}{45}$