Страница 176 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

440. Упростить выражение:

1) $\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{b}$;

2) $2(\sqrt{x}+\sqrt{y})-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$;

3) $\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y}$.

1) Для упрощения выражения $ \frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} - \sqrt{b} $ разложим числитель дроби $a-b$ на множители по формуле разности квадратов, представив $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $b$ как $(\sqrt{b})^2$.

$ a-b = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $

Подставим полученное выражение в исходную дробь и сократим ее (при условии, что $a \neq b$):

$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{a}+\sqrt{b} $

Теперь выполним вычитание:

$ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) - \sqrt{b} = \sqrt{a}+\sqrt{b} - \sqrt{b} = \sqrt{a} $

Ответ: $\sqrt{a}$.

2) Рассмотрим выражение $ 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} $. Упростим второе слагаемое (дробь). Для этого разложим числитель дроби $x-y$ на множители по формуле разности квадратов:

$ x-y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) $

Подставим это в дробь и сократим:

$ \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x}-\sqrt{y} $

Теперь подставим упрощенную дробь обратно в исходное выражение:

$ 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - (\sqrt{x}-\sqrt{y}) $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 2\sqrt{x}+2\sqrt{y} - \sqrt{x}+\sqrt{y} = (2\sqrt{x}-\sqrt{x}) + (2\sqrt{y}+\sqrt{y}) = \sqrt{x}+3\sqrt{y} $

Ответ: $\sqrt{x}+3\sqrt{y}$.

3) Для упрощения дроби $ \frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x-\sqrt{xy}+y} $ воспользуемся формулой суммы кубов. Представим числитель и знаменатель в виде выражений от $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$.

Числитель: $ x\sqrt{x}+y\sqrt{y} = (\sqrt{x})^2\sqrt{x} + (\sqrt{y})^2\sqrt{y} = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 $. Это сумма кубов.

Знаменатель: $ x-\sqrt{xy}+y = (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 $. Это неполный квадрат разности.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $ A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2) $. Применив ее к числителю, где $A=\sqrt{x}$ и $B=\sqrt{y}$, получим:

$ (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y) $

Теперь подставим это разложение в исходную дробь:

$ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{x-\sqrt{xy}+y} $

Сократим дробь на общий множитель $(x-\sqrt{xy}+y)$:

$ \sqrt{x}+\sqrt{y} $

Ответ: $\sqrt{x}+\sqrt{y}$.

441. Вычислить на калькуляторе с точностью до 0,01:

1) $\frac{\sqrt{37}}{\sqrt{26}}$;

2) $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{46}}$;

3) $\frac{\sqrt{26} \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{22}}$;

4) $\frac{\sqrt{54} \cdot \sqrt{67}}{\sqrt{39}}$;

5) $\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{45}}$

1) Для вычисления выражения $ \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{26}} $ воспользуемся свойством частного квадратных корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.
$ \frac{\sqrt{37}}{\sqrt{26}} = \sqrt{\frac{37}{26}} $
Теперь вычислим значение на калькуляторе:
$ \sqrt{\frac{37}{26}} \approx \sqrt{1,4230769...} \approx 1,192927... $
Для округления с точностью до 0,01 (до сотых), смотрим на третью цифру после запятой. Это цифра 2, значит, округляем в меньшую сторону.
Ответ: 1,19

2) Для вычисления выражения $ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{46}} $ преобразуем его, используя свойство частного корней:
$ \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{46}} = \sqrt{\frac{17}{46}} $
Вычислим значение на калькуляторе:
$ \sqrt{\frac{17}{46}} \approx \sqrt{0,3695652...} \approx 0,607918... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 7, поэтому округляем в большую сторону (к 0,60 прибавляем 0,01).
Ответ: 0,61

3) Для вычисления выражения $ \frac{\sqrt{26} \cdot \sqrt{35}}{\sqrt{22}} $ воспользуемся свойствами умножения и деления корней $ \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{c}} $.
$ \sqrt{\frac{26 \cdot 35}{22}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 2 \cdot 35}{11 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 35}{11}} = \sqrt{\frac{455}{11}} $
Вычислим значение на калькуляторе:
$ \sqrt{\frac{455}{11}} \approx \sqrt{41,363636...} \approx 6,431456... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 1, значит, округляем в меньшую сторону.
Ответ: 6,43

4) Для вычисления выражения $ \frac{\sqrt{54} \cdot \sqrt{67}}{\sqrt{39}} $ преобразуем его под один корень и сократим дробь:
$ \sqrt{\frac{54 \cdot 67}{39}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 3 \cdot 67}{13 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 67}{13}} = \sqrt{\frac{1206}{13}} $
Вычислим значение на калькуляторе:
$ \sqrt{\frac{1206}{13}} \approx \sqrt{92,76923...} \approx 9,631678... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 1, поэтому округляем в меньшую сторону.
Ответ: 9,63

5) Для вычисления выражения $ \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{45}} $ преобразуем его под один корень и сократим дробь:
$ \sqrt{\frac{21 \cdot 17}{13 \cdot 45}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 3 \cdot 17}{13 \cdot 15 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 17}{13 \cdot 15}} = \sqrt{\frac{119}{195}} $
Вычислим значение на калькуляторе:
$ \sqrt{\frac{119}{195}} \approx \sqrt{0,610256...} \approx 0,781189... $
Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 1, поэтому округляем в меньшую сторону.
Ответ: 0,78

442. Доказать, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство:

1) $\sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$;

2) $\sqrt{\frac{a^2}{b}} + \sqrt{\frac{b^2}{a}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

1) Для доказательства неравенства $ \sqrt{ab} \ge \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} $ для положительных чисел $a$ и $b$ преобразуем его правую часть. Правая часть представляет собой гармоническое среднее чисел $a$ и $b$.
$ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{2ab}{a+b} $.
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему: $ \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a+b} $.
Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, обе части неравенства положительны. Мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $ (\sqrt{ab})^2 \ge \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 $
$ ab \ge \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} $.
Так как $ab > 0$, разделим обе части на $ab$: $ 1 \ge \frac{4ab}{(a+b)^2} $.
Умножим обе части на $(a+b)^2$, которое всегда положительно: $ (a+b)^2 \ge 4ab $.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть: $ a^2 + 2ab + b^2 \ge 4ab $
$ a^2 - 2ab + b^2 \ge 0 $.
Полученное выражение является полным квадратом разности: $ (a-b)^2 \ge 0 $.
Это неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Все преобразования были равносильными, следовательно, исходное неравенство также верно. Равенство достигается при $a-b=0$, то есть при $a=b$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Рассмотрим неравенство в том виде, как оно дано в условии: $ \sqrt{\frac{a^2}{b}} + \sqrt{\frac{b^2}{b}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
Поскольку $a, b > 0$, мы можем упростить левую часть: $ \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b}} + \sqrt{b} = \frac{a}{\sqrt{b}} + \sqrt{b} $.
Тогда неравенство принимает вид: $ \frac{a}{\sqrt{b}} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
Вычтем из обеих частей $ \sqrt{b} $: $ \frac{a}{\sqrt{b}} \ge \sqrt{a} $.
Так как $ \sqrt{b} > 0 $, умножим обе части на $ \sqrt{b} $: $ a \ge \sqrt{a}\sqrt{b} $ или $ a \ge \sqrt{ab} $.
Возведем в квадрат обе положительные части: $ a^2 \ge ab $.
Разделим на $ a > 0 $: $ a \ge b $.
Данное неравенство справедливо только при $ a \ge b $, а не для любых положительных $a$ и $b$, как требует условие. Например, для $a=2, b=3$ неравенство $2 \ge 3$ неверно. Следовательно, в условии задачи, по-видимому, опечатка. Наиболее вероятная форма исходного неравенства: $ \sqrt{\frac{a^2}{b}} + \sqrt{\frac{b^2}{a}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} $. Докажем его.
Преобразуем левую часть: $ \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} $. Неравенство для доказательства: $ \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} $.
Перенесем все члены в левую часть: $ \frac{a}{\sqrt{b}} + \frac{b}{\sqrt{a}} - \sqrt{a} - \sqrt{b} \ge 0 $.
Сгруппируем слагаемые: $ \left(\frac{a}{\sqrt{b}} - \sqrt{b}\right) + \left(\frac{b}{\sqrt{a}} - \sqrt{a}\right) \ge 0 $.
Приведем к общему знаменателю в каждой скобке: $ \frac{a-b}{\sqrt{b}} + \frac{b-a}{\sqrt{a}} \ge 0 $.
$ \frac{a-b}{\sqrt{b}} - \frac{a-b}{\sqrt{a}} \ge 0 $.
Вынесем общий множитель $ (a-b) $: $ (a-b)\left(\frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}\right) \ge 0 $.
Приведем выражение во второй скобке к общему знаменателю: $ (a-b)\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\right) \ge 0 $.
Разложим $ a-b $ по формуле разности квадратов: $ a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) $.
$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}} \ge 0 $.
$ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{ab}} \ge 0 $.
Проанализируем это выражение: множитель $ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0 $, так как это квадрат действительного числа. Множитель $ (\sqrt{a}+\sqrt{b}) > 0 $, так как $a$ и $b$ положительны. Знаменатель $ \sqrt{ab} > 0 $. Таким образом, вся дробь является частным от деления неотрицательного числа на положительное, и, следовательно, она всегда неотрицательна. Неравенство доказано. Равенство достигается при $ \sqrt{a}=\sqrt{b} $, то есть при $a=b$.
Ответ: Неравенство в исходной форме неверно. Доказано исправленное неравенство $ \sqrt{\frac{a^2}{b}} + \sqrt{\frac{b^2}{a}} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} $.

443. Построить график функции:

1) $y=\sqrt{x^2 - 2x + 1};$

2) $y=\sqrt{x^2 - 6x + 9}.$

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1}$.
Выражение под знаком корня, $x^2 - 2x + 1$, представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=1$, следовательно, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
Таким образом, исходную функцию можно преобразовать к виду: $y = \sqrt{(x-1)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем: $y = |x - 1|$.
График функции $y = |x - 1|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо.
График состоит из двух лучей, исходящих из одной точки (вершины).
Вершина находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Координаты вершины: $(1, 0)$.
Для построения графика можно также раскрыть модуль:
1. При $x - 1 \ge 0$, то есть при $x \ge 1$, функция принимает вид $y = x - 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.
2. При $x - 1 < 0$, то есть при $x < 1$, функция принимает вид $y = -(x - 1) = -x + 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий, например, через точку $(0, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой две полупрямые (лучи), выходящие из точки $(1, 0)$. Одна полупрямая задается уравнением $y = x - 1$ для $x \ge 1$, вторая — уравнением $y = -x + 1$ для $x < 1$.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.
Выражение под корнем, $x^2 - 6x + 9$, также является полным квадратом разности. По формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$, получаем $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
Исходная функция преобразуется к виду: $y = \sqrt{(x-3)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $y = |x - 3|$.
График функции $y = |x - 3|$ — это график функции $y = |x|$, сдвинутый вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо.
Этот график имеет форму "галочки" и состоит из двух лучей.
Вершина графика находится в точке, где $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Координаты вершины: $(3, 0)$.
Раскроем модуль для детального построения:
1. При $x - 3 \ge 0$, то есть при $x \ge 3$, функция имеет вид $y = x - 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(4, 1)$.
2. При $x - 3 < 0$, то есть при $x < 3$, функция имеет вид $y = -(x - 3) = -x + 3$. Это луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий, например, через точку $(2, 1)$.
Ответ: График функции представляет собой две полупрямые (лучи), выходящие из точки $(3, 0)$. Одна полупрямая задается уравнением $y = x - 3$ для $x \ge 3$, вторая — уравнением $y = -x + 3$ для $x < 3$.