Страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Сократить дробь:

а) $\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}};

б) $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}}$, необходимо разложить числитель на множители. Числитель $x^2 - 3$ представляет собой разность квадратов. Мы можем представить число 3 как квадратный корень из 3, возведенный в квадрат, то есть $3 = (\sqrt{3})^2$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \sqrt{3}$.

Следовательно, числитель можно записать как:

$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}} = \frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}}$

Сокращаем общий множитель $(x + \sqrt{3})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x + \sqrt{3} \neq 0$):

$\frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}} = x - \sqrt{3}$

Ответ: $x - \sqrt{3}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$, необходимо разложить на множители знаменатель. Знаменатель $x - y$ также можно представить в виде разности квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$ (при $x \ge 0$, $y \ge 0$, что следует из области определения числителя).

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

Следовательно, знаменатель можно записать как:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0$):

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

6. Исключить иррациональность из знаменателя:

а) $\frac{5}{\sqrt{7}}$;

б) $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$.

а) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $ \frac{5}{\sqrt{7}} $, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на $ \sqrt{7} $. Это действие основано на свойстве корня $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $, которое позволяет избавиться от знака корня в знаменателе.
Выполним преобразование:
$ \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} $
Таким образом, мы получили дробь с рациональным знаменателем.
Ответ: $ \frac{5\sqrt{7}}{7} $

б) В данном случае в знаменателе находится сумма $ 2+\sqrt{3} $. Чтобы избавиться от иррациональности, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $ 2+\sqrt{3} $ является $ 2-\sqrt{3} $. При их перемножении используется формула разности квадратов: $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.
Выполним преобразование:
$ \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3}) \cdot (2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3} $
Таким образом, мы избавились от дроби, и знаменатель стал равен 1.
Ответ: $ 2-\sqrt{3} $

7. Сравнить:

а) $4,6$ и $\sqrt{22}$;

б) $2\sqrt{37}$ и $5\sqrt{6}$.

а) Чтобы сравнить числа $4,6$ и $\sqrt{22}$, возведем оба числа в квадрат. Поскольку оба числа являются положительными, то большему числу будет соответствовать больший квадрат.

Вычислим квадрат числа $4,6$:

$4,6^2 = 4,6 \cdot 4,6 = 21,16$

Вычислим квадрат числа $\sqrt{22}$:

$(\sqrt{22})^2 = 22$

Теперь сравним полученные значения: $21,16$ и $22$.

Очевидно, что $21,16 < 22$.

Следовательно, исходные числа соотносятся так же: $4,6 < \sqrt{22}$.

Ответ: $4,6 < \sqrt{22}$.

б) Чтобы сравнить числа $2\sqrt{37}$ и $5\sqrt{6}$, мы также можем возвести их в квадрат. Этот метод удобен, так как позволяет избавиться от иррациональности. Оба выражения положительны, поэтому знак неравенства при возведении в квадрат сохранится.

Возведем в квадрат первое число:

$(2\sqrt{37})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{37})^2 = 4 \cdot 37 = 148$

Возведем в квадрат второе число:

$(5\sqrt{6})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150$

Теперь сравним результаты: $148$ и $150$.

Так как $148 < 150$, то и $2\sqrt{37} < 5\sqrt{6}$.

Ответ: $2\sqrt{37} < 5\sqrt{6}$.

8. Упростить выражение:

а) $ \frac{5\sqrt{3}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}-1}; $

б) $ (\sqrt{27}+\sqrt{12}+5)(1-\sqrt{3}); $

в) $ \frac{2\sqrt{6}-3\sqrt{3}}{(1-\sqrt{2})^2}; $

г) $ \frac{\sqrt{4(x-y)^2}}{x-y} $ при $ x<y. $

а) Чтобы упростить выражение $\frac{5\sqrt{3} - \sqrt{15}}{\sqrt{5} - 1}$, вынесем в числителе общий множитель за скобки. Заметим, что $\sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5}\sqrt{3}$.
$5\sqrt{3} - \sqrt{15} = 5\sqrt{3} - \sqrt{5}\sqrt{3} = \sqrt{3}(5 - \sqrt{5})$.
Теперь в выражении $(5 - \sqrt{5})$ также можно вынести общий множитель $\sqrt{5}$, так как $5 = (\sqrt{5})^2$:
$5 - \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 - \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1)$.
Подставим полученное выражение обратно в числитель:
$\sqrt{3}(5 - \sqrt{5}) = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{15}(\sqrt{5} - 1)$.
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{\sqrt{15}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1}$.
Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt{5} - 1)$:
$\frac{\sqrt{15}(\sqrt{5} - 1)}{\sqrt{5} - 1} = \sqrt{15}$.
Ответ: $\sqrt{15}$

б) Для упрощения выражения $(\sqrt{27} + \sqrt{12} + 5)(1 - \sqrt{3})$, сначала упростим корни в первой скобке.
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$.
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 5)(1 - \sqrt{3}) = (5\sqrt{3} + 5)(1 - \sqrt{3})$.
Вынесем общий множитель $5$ из первой скобки:
$5(\sqrt{3} + 1)(1 - \sqrt{3})$.
Чтобы применить формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, вынесем $-1$ из второй скобки:
$5(\sqrt{3} + 1)(-( \sqrt{3} - 1)) = -5(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$.
Теперь применяем формулу разности квадратов:
$-5((\sqrt{3})^2 - 1^2) = -5(3 - 1) = -5 \cdot 2 = -10$.
Ответ: $-10$

в) Чтобы упростить выражение $\frac{2\sqrt{6} - 3\sqrt{3}}{(1 - \sqrt{2})^2}$, начнем с преобразования знаменателя и числителя.
Раскроем квадрат в знаменателе по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$.
Теперь преобразуем числитель. Заметим, что $\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}$, и вынесем общий множитель $\sqrt{3}$:
$2\sqrt{6} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}(2\sqrt{2} - 3)$.
Подставим преобразованные части в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{3}(2\sqrt{2} - 3)}{3 - 2\sqrt{2}}$.
Заметим, что выражение в скобках в числителе и выражение в знаменателе отличаются только знаком: $2\sqrt{2} - 3 = -(3 - 2\sqrt{2})$.
$\frac{\sqrt{3}(-(3 - 2\sqrt{2}))}{3 - 2\sqrt{2}}$.
Сократим дробь на $(3 - 2\sqrt{2})$:
$-\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$

г) Упростим выражение $\frac{\sqrt{4(x-y)^2}}{x-y}$ при условии $x < y$.
Сначала извлечем корень из числителя. Используем свойство $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и $\sqrt{a^2}=|a|$:
$\sqrt{4(x-y)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(x-y)^2} = 2|x-y|$.
Выражение принимает вид:
$\frac{2|x-y|}{x-y}$.
По условию $x < y$, следовательно, разность $x - y$ отрицательна: $x - y < 0$.
По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению: $|a| = -a$ при $a < 0$.
Значит, $|x-y| = -(x-y)$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{2 \cdot (-(x-y))}{x-y} = \frac{-2(x-y)}{x-y}$.
Сокращаем дробь на $(x-y)$:
$-2$.
Ответ: $-2$

9. Внести множитель под знак квадратного корня: $xy^2 \sqrt{\frac{x}{y^3}}$, если $x \ge 0$, $y > 0$.

Для того чтобы внести множитель $xy^2$ под знак квадратного корня, необходимо этот множитель возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Согласно правилу внесения множителя под знак корня, $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ при $a \ge 0$.

По условию задачи дано, что $x \ge 0$ и $y > 0$. Следовательно, множитель $xy^2$ является неотрицательным ($xy^2 \ge 0$), так как произведение неотрицательного числа $x$ и положительного числа $y^2$ всегда неотрицательно. Поэтому мы можем применить указанное выше правило без изменения знака перед корнем.

Исходное выражение:

$xy^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}$

Вносим множитель $xy^2$ под знак корня, возводя его в квадрат:

$xy^2\sqrt{\frac{x}{y^3}} = \sqrt{(xy^2)^2 \cdot \frac{x}{y^3}}$

Теперь упростим выражение, находящееся под знаком корня. Сначала раскроем скобки в первом множителе:

$(xy^2)^2 = x^2 \cdot (y^2)^2 = x^2 y^4$

Подставим это обратно в выражение под корнем:

$\sqrt{x^2 y^4 \cdot \frac{x}{y^3}}$

Выполним умножение под корнем, объединив все в одну дробь:

$\sqrt{\frac{x^2 y^4 \cdot x}{y^3}} = \sqrt{\frac{x^{2+1} \cdot y^4}{y^3}} = \sqrt{\frac{x^3 y^4}{y^3}}$

Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt{x^3 y^{4-3}} = \sqrt{x^3 y^1} = \sqrt{x^3 y}$

Ответ: $\sqrt{x^3 y}$

10. Сократить дробь

$\frac{1-2\sqrt{x}+x}{x-1}$, если $x > 1$.

Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $1 - 2\sqrt{x} + x$.
Это выражение является полным квадратом. Запишем его в более привычном виде: $x - 2\sqrt{x} + 1$.
Здесь $x$ можно представить как $(\sqrt{x})^2$, а $1$ как $1^2$. Таким образом, выражение принимает вид:
$(\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2$
Используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$, получаем:
$1 - 2\sqrt{x} + x = (\sqrt{x} - 1)^2$.

2. Разложим знаменатель: $x - 1$.
Это выражение представляет собой разность квадратов. Представим $x$ как $(\sqrt{x})^2$, а $1$ как $1^2$.
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = \sqrt{x}$ и $b = 1$, получаем:
$x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.

3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим.
$\frac{1 - 2\sqrt{x} + x}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 1)$. Это действие корректно, так как по условию $x > 1$, что означает $\sqrt{x} > 1$, и, следовательно, $\sqrt{x} - 1 \neq 0$.
$\frac{(\sqrt{x} - 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(\sqrt{x} - 1)}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

Ответ: $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

11. Исключить иррациональность из знаменателя:

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$.

11. Исключить иррациональность из знаменателя: $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $(\sqrt{2}-1)$ является $(\sqrt{2}+1)$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(\sqrt{2}+1)$:

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)} \cdot \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

Теперь раскроем скобки в числителе и знаменателе.

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

В числителе воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$

12. Найти наименьшее целое число, большее, чем $\sqrt{17}$.

Для того чтобы найти наименьшее целое число, которое больше, чем $\sqrt{17}$, нам необходимо оценить значение $\sqrt{17}$. Сделаем это, сравнив число 17 с ближайшими к нему точными квадратами целых чисел.

Нам известно, что $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$.

Так как $16 < 17 < 25$, мы можем применить операцию извлечения квадратного корня ко всем частям этого двойного неравенства:
$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$

Вычислив корни из точных квадратов, получаем:
$4 < \sqrt{17} < 5$

Это неравенство показывает, что число $\sqrt{17}$ находится на числовой прямой между целыми числами 4 и 5.

Мы ищем наименьшее целое число, которое больше $\sqrt{17}$. Целые числа, которые идут после 4, — это 5, 6, 7 и так далее. Поскольку $\sqrt{17}$ больше 4, наименьшим целым числом, превосходящим $\sqrt{17}$, будет следующее за 4 целое число, то есть 5.

Ответ: 5

13. Извлечь корень из произведения: $\sqrt{2x \cdot 5y \cdot 8x \cdot 20y}$.

Для решения данной задачи необходимо извлечь квадратный корень из произведения. Для этого сначала упростим выражение, находящееся под знаком корня.

Исходное выражение: $\sqrt{2x \cdot 5y \cdot 8x \cdot 20y}$.

Сгруппируем множители под корнем, объединив числовые коэффициенты и переменные:

$\sqrt{(2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 20) \cdot (x \cdot x) \cdot (y \cdot y)}$

Вычислим произведение числовых коэффициентов:

$2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 20 = 10 \cdot 160 = 1600$.

Упростим произведения переменных:

$x \cdot x = x^2$

$y \cdot y = y^2$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение под корнем:

$\sqrt{1600x^2y^2}$

Воспользуемся свойством корня из произведения, которое гласит, что корень из произведения равен произведению корней из множителей: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (для неотрицательных $a, b, c$).

$\sqrt{1600 \cdot x^2 \cdot y^2} = \sqrt{1600} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^2}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt{1600} = 40$

$\sqrt{x^2} = |x|$. Знак модуля необходим, так как переменная $x$ может быть как положительной, так и отрицательной, а арифметический квадратный корень ($\sqrt{}$) по определению всегда дает неотрицательный результат.

$\sqrt{y^2} = |y|$. Аналогичное правило применяется и к переменной $y$.

Объединим полученные результаты, чтобы найти окончательное выражение:

$40 \cdot |x| \cdot |y| = 40|x||y|$

Важно заметить, что подкоренное выражение $1600x^2y^2$ всегда неотрицательно при любых действительных значениях $x$ и $y$, поэтому исходное выражение определено для всех $x, y \in \mathbb{R}$. Следовательно, использование модулей в ответе является обязательным для получения математически корректного общего решения.

Ответ: $40|x||y|$

14. Упростить выражение:

а) $ \frac{\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{8})^2}}{\sqrt{3}-2}; $

б) $ \left(\frac{4}{x-y} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\right) : \frac{\sqrt{xy}-x}{\sqrt{y}}. $

а)

Упростим выражение по шагам.

1. Сначала упростим числитель. Согласно свойству корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{8})^2} = |\sqrt{6}-\sqrt{8}|$.

Так как $6 < 8$, то $\sqrt{6} < \sqrt{8}$, и, следовательно, разность $\sqrt{6}-\sqrt{8}$ является отрицательным числом. Поэтому, раскрывая модуль, меняем знак выражения:

$|\sqrt{6}-\sqrt{8}| = -(\sqrt{6}-\sqrt{8}) = \sqrt{8}-\sqrt{6}$.

2. Упростим $\sqrt{8}$: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Теперь числитель имеет вид $2\sqrt{2}-\sqrt{6}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$2\sqrt{2}-\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2}(2-\sqrt{3})$.

3. Подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-2}$.

Заметим, что $2-\sqrt{3} = -(\sqrt{3}-2)$. Сократим дробь:

$\frac{\sqrt{2}(-(\sqrt{3}-2))}{\sqrt{3}-2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

б)

Упростим выражение по действиям. Область допустимых значений: $x > 0, y > 0, x \neq y$.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{4}{x-y} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}$.

Разложим знаменатели на множители:

$x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$;

$x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$:

$\frac{4\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{4\sqrt{xy} - (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(x-y)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+2\sqrt{xy}+y$.

Числитель примет вид: $4\sqrt{xy} - (x+2\sqrt{xy}+y) = 4\sqrt{xy} - x - 2\sqrt{xy} - y = 2\sqrt{xy} - x - y = -(x - 2\sqrt{xy} + y) = -(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$.

Результат первого действия: $\frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

2. Упростим делитель: $\frac{\sqrt{xy}-x}{\sqrt{y}}$.

Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{x}$:

$\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}-\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})}{\sqrt{y}} = \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{y}}$.

3. Выполним деление:

$\frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} : \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{y}} = \frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot \frac{\sqrt{y}}{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$.

Сокращаем общие множители $-(\sqrt{x}-\sqrt{y})$:

$\frac{1}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{x\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

Сокращаем $\sqrt{y}$:

$\frac{1}{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

Ответ: $\frac{1}{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

15. Исключить иррациональность из знаменателя:

a) $\frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3}$;

б) $\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}$.

а) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $ \frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3} $, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $ \sqrt{x+2}-3 $ является выражение $ \sqrt{x+2}+3 $.

Выполним умножение, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $ для знаменателя:

$ \frac{x-7}{\sqrt{x+2}-3} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)} = \frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{(\sqrt{x+2})^2 - 3^2} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{x+2})^2 - 3^2 = (x+2) - 9 = x-7 $

Подставим полученный знаменатель обратно в выражение:

$ \frac{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)}{x-7} $

Сократим дробь на $ (x-7) $, при условии, что $ x-7 \neq 0 $, то есть $ x \neq 7 $ (при $ x=7 $ исходное выражение не определено).

$ \sqrt{x+2}+3 $

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: $ \sqrt{x+2}+3 $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{6+4\sqrt{2}}} $.

Для начала упростим сложное подкоренное выражение $ \sqrt{6+4\sqrt{2}} $. Попробуем представить выражение под корнем в виде полного квадрата, используя формулу $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $.

$ 6+4\sqrt{2} = 4 + 2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 2^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = (2+\sqrt{2})^2 $

Следовательно, корень из этого выражения равен:

$ \sqrt{6+4\sqrt{2}} = \sqrt{(2+\sqrt{2})^2} = 2+\sqrt{2} $

Теперь подставим упрощенное выражение в знаменатель исходной дроби:

$ \frac{2}{\sqrt{2} + (2+\sqrt{2})} = \frac{2}{2+2\sqrt{2}} $

Вынесем общий множитель $ 2 $ в знаменателе и сократим дробь:

$ \frac{2}{2(1+\sqrt{2})} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} $

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе $ 1+\sqrt{2} $, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ 1-\sqrt{2} $:

$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1-\sqrt{2}}{-1} = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1 $

Ответ: $ \sqrt{2}-1 $

16. Решить уравнение $ \sqrt{(3x - 8)^2} = 8 - 3x $.

Исходное уравнение:

$\sqrt{(3x-8)^2} = 8-3x$

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:

$8 - 3x \ge 0$

Решим это неравенство:

$-3x \ge -8$

$3x \le 8$

$x \le \frac{8}{3}$

Таким образом, все решения уравнения должны удовлетворять условию $x \le \frac{8}{3}$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения. Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив его к левой части уравнения, получим:

$|3x - 8| = 8 - 3x$

Обратим внимание, что выражение в правой части, $8 - 3x$, является противоположным выражению под знаком модуля, $3x - 8$. То есть, $8 - 3x = -(3x - 8)$.

Пусть $A = 3x - 8$. Тогда наше уравнение принимает вид $|A| = -A$.

По определению абсолютной величины (модуля), равенство $|A| = -A$ верно тогда и только тогда, когда подмодульное выражение неположительно, то есть $A \le 0$.

В нашем случае это означает, что уравнение равносильно неравенству:

$3x - 8 \le 0$

Решим это неравенство:

$3x \le 8$

$x \le \frac{8}{3}$

Полученное множество решений $x \le \frac{8}{3}$ полностью совпадает с найденной ранее областью допустимых значений. Следовательно, решением уравнения является любой $x$, удовлетворяющий этому условию.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{8}{3}]$.