Номер 14, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 14, страница 183.

Условие.

14. Упростить выражение:

а) $ \frac{\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{8})^2}}{\sqrt{3}-2}; $

б) $ \left(\frac{4}{x-y} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}\right) : \frac{\sqrt{xy}-x}{\sqrt{y}}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Упростим выражение по шагам.

1. Сначала упростим числитель. Согласно свойству корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{8})^2} = |\sqrt{6}-\sqrt{8}|$.

Так как $6 < 8$, то $\sqrt{6} < \sqrt{8}$, и, следовательно, разность $\sqrt{6}-\sqrt{8}$ является отрицательным числом. Поэтому, раскрывая модуль, меняем знак выражения:

$|\sqrt{6}-\sqrt{8}| = -(\sqrt{6}-\sqrt{8}) = \sqrt{8}-\sqrt{6}$.

2. Упростим $\sqrt{8}$: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Теперь числитель имеет вид $2\sqrt{2}-\sqrt{6}$. Вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки:

$2\sqrt{2}-\sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2}(2-\sqrt{3})$.

3. Подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-2}$.

Заметим, что $2-\sqrt{3} = -(\sqrt{3}-2)$. Сократим дробь:

$\frac{\sqrt{2}(-(\sqrt{3}-2))}{\sqrt{3}-2} = -\sqrt{2}$.

Ответ: $-\sqrt{2}$.

б)

Упростим выражение по действиям. Область допустимых значений: $x > 0, y > 0, x \neq y$.

1. Упростим выражение в скобках: $\frac{4}{x-y} - \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}$.

Разложим знаменатели на множители:

$x-y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$;

$x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$:

$\frac{4\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{4\sqrt{xy} - (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(x-y)}$.

Раскроем скобки в числителе: $(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2 = x+2\sqrt{xy}+y$.

Числитель примет вид: $4\sqrt{xy} - (x+2\sqrt{xy}+y) = 4\sqrt{xy} - x - 2\sqrt{xy} - y = 2\sqrt{xy} - x - y = -(x - 2\sqrt{xy} + y) = -(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$.

Результат первого действия: $\frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} = \frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

2. Упростим делитель: $\frac{\sqrt{xy}-x}{\sqrt{y}}$.

Вынесем в числителе общий множитель $\sqrt{x}$:

$\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}-\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{y}-\sqrt{x})}{\sqrt{y}} = \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{y}}$.

3. Выполним деление:

$\frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} : \frac{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{y}} = \frac{-(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot \frac{\sqrt{y}}{-\sqrt{x}(\sqrt{x}-\sqrt{y})}$.

Сокращаем общие множители $-(\sqrt{x}-\sqrt{y})$:

$\frac{1}{\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{y}}{x\sqrt{y}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

Сокращаем $\sqrt{y}$:

$\frac{1}{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.

Ответ: $\frac{1}{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}$.