Номер 11, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 11, страница 183.

Условие.

11. Исключить иррациональность из знаменателя:

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

11. Исключить иррациональность из знаменателя: $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к выражению $(\sqrt{2}-1)$ является $(\sqrt{2}+1)$.

Умножим числитель и знаменатель дроби на $(\sqrt{2}+1)$:

$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)} \cdot \frac{(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$

Теперь раскроем скобки в числителе и знаменателе.

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

В числителе воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sqrt{2}+1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

Ответ: $3 + 2\sqrt{2}$