Номер 5, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 5, страница 183.

Условие.

5. Сократить дробь:

а) $\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}};

б) $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}}$, необходимо разложить числитель на множители. Числитель $x^2 - 3$ представляет собой разность квадратов. Мы можем представить число 3 как квадратный корень из 3, возведенный в квадрат, то есть $3 = (\sqrt{3})^2$.

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \sqrt{3}$.

Следовательно, числитель можно записать как:

$x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$.

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{x^2 - 3}{x + \sqrt{3}} = \frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}}$

Сокращаем общий множитель $(x + \sqrt{3})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x + \sqrt{3} \neq 0$):

$\frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}} = x - \sqrt{3}$

Ответ: $x - \sqrt{3}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y}$, необходимо разложить на множители знаменатель. Знаменатель $x - y$ также можно представить в виде разности квадратов, учитывая, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$ (при $x \ge 0$, $y \ge 0$, что следует из области определения числителя).

Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

Следовательно, знаменатель можно записать как:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x - y} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq 0$):

$\frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}$