Номер 8, страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 4. Квадратные корни - номер 8, страница 181.

Условие.

8. Начальная масса тела $m_0$ при движении со скоростью $v$ меняется и достигает величины $m$, которую можно найти по формуле $$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ где $c$ — скорость света. На сколько процентов увеличится масса тела при движении со скоростью: 1) $\frac{c}{2}$;
2) $10^5$ км/с? Принять скорость света $c = 3 \cdot 10^5$ км/с.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы найти, на сколько процентов увеличится масса тела, воспользуемся формулой процентного изменения: $\frac{m - m_0}{m_0} \times 100\%$. Учитывая, что релятивистская масса $m$ связана с массой покоя $m_0$ формулой $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, мы можем найти искомое процентное увеличение как $\left(\frac{m}{m_0} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) \times 100\%$.

1) $\frac{c}{2}$;

В данном случае скорость тела $v = \frac{c}{2}$. Найдем отношение квадрата скорости тела к квадрату скорости света:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(\frac{c}{2})^2}{c^2} = \frac{\frac{c^2}{4}}{c^2} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим это значение в формулу для процентного увеличения:

$\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1\right) \times 100\%$

Вычислим приближенное значение: $(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \times 100\% \approx (1.1547 - 1) \times 100\% = 15.47\%$. Округляя, получаем 15,5%.

Ответ: масса тела увеличится примерно на 15,5%.

2) $10^5$ км/с?

В данном случае скорость тела $v = 10^5$ км/с, а скорость света, согласно условию, $c = 3 \cdot 10^5$ км/с. Найдем отношение квадрата скорости тела к квадрату скорости света:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(10^5)^2}{(3 \cdot 10^5)^2} = \frac{10^{10}}{9 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{9}$

Подставим это значение в формулу для процентного увеличения:

$\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{9}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{8}{9}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{8}}{3}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{3}{\sqrt{8}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{3}{2\sqrt{2}} - 1\right) \times 100\%$

Вычислим приближенное значение: $(\frac{3}{2\sqrt{2}} - 1) \times 100\% \approx (1.0607 - 1) \times 100\% = 6.07\%$. Округляя, получаем 6,1%.

Ответ: масса тела увеличится примерно на 6,1%.