Номер 3, страница 182 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 3, страница 182.

Условие.

3. Упростить выражение:

а) $3\sqrt{8}+\sqrt{2}-3\sqrt{18}$;

б) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})^2$;

в) $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить выражение $3\sqrt{8} + \sqrt{2} - 3\sqrt{18}$, нужно привести все слагаемые к общему радикалу. Для этого вынесем множители из-под знака корня.

Упростим каждый корень по отдельности:

1. $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

2. $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$3\sqrt{8} + \sqrt{2} - 3\sqrt{18} = 3 \cdot (2\sqrt{2}) + \sqrt{2} - 3 \cdot (3\sqrt{2})$

Выполним умножение:

$6\sqrt{2} + \sqrt{2} - 9\sqrt{2}$

Все слагаемые содержат $\sqrt{2}$, поэтому их можно сложить и вычесть, оперируя с коэффициентами перед корнем:

$(6 + 1 - 9)\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$

Ответ: $-2\sqrt{2}$

б) Для упрощения выражения $(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2$ используем формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{5}$ и $b = \sqrt{2}$.

Применим формулу:

$(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

Теперь вычислим значение каждого члена:

1. $(\sqrt{5})^2 = 5$

2. $2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{5 \cdot 2} = 2\sqrt{10}$

3. $(\sqrt{2})^2 = 2$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$5 - 2\sqrt{10} + 2$

Сложим целые числа:

$7 - 2\sqrt{10}$

Ответ: $7 - 2\sqrt{10}$

в) Выражение $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})$ представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Для его упрощения применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2$ и $b = \sqrt{3}$.

Применим формулу:

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2$

Вычислим квадраты:

$2^2 = 4$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Найдем их разность:

$4 - 3 = 1$

Ответ: $1$