Номер 9, страница 183 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 4. Квадратные корни - номер 9, страница 183.

Условие.

9. Внести множитель под знак квадратного корня: $xy^2 \sqrt{\frac{x}{y^3}}$, если $x \ge 0$, $y > 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того чтобы внести множитель $xy^2$ под знак квадратного корня, необходимо этот множитель возвести в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Согласно правилу внесения множителя под знак корня, $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ при $a \ge 0$.

По условию задачи дано, что $x \ge 0$ и $y > 0$. Следовательно, множитель $xy^2$ является неотрицательным ($xy^2 \ge 0$), так как произведение неотрицательного числа $x$ и положительного числа $y^2$ всегда неотрицательно. Поэтому мы можем применить указанное выше правило без изменения знака перед корнем.

Исходное выражение:

$xy^2\sqrt{\frac{x}{y^3}}$

Вносим множитель $xy^2$ под знак корня, возводя его в квадрат:

$xy^2\sqrt{\frac{x}{y^3}} = \sqrt{(xy^2)^2 \cdot \frac{x}{y^3}}$

Теперь упростим выражение, находящееся под знаком корня. Сначала раскроем скобки в первом множителе:

$(xy^2)^2 = x^2 \cdot (y^2)^2 = x^2 y^4$

Подставим это обратно в выражение под корнем:

$\sqrt{x^2 y^4 \cdot \frac{x}{y^3}}$

Выполним умножение под корнем, объединив все в одну дробь:

$\sqrt{\frac{x^2 y^4 \cdot x}{y^3}} = \sqrt{\frac{x^{2+1} \cdot y^4}{y^3}} = \sqrt{\frac{x^3 y^4}{y^3}}$

Сократим дробь, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt{x^3 y^{4-3}} = \sqrt{x^3 y^1} = \sqrt{x^3 y}$

Ответ: $\sqrt{x^3 y}$