Страница 181 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

находится по формуле $T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где

$l$ — длина маятника (длина нити от места подвеса до центра тяжести грузика, выраженная в метрах), $g$ — ускорение свободного падения.

Выразить из данной формулы длину маятника и найти её значение, если $T=1,1$ с; $T=2,2$ с. В расчётах принять: $g=9,8$ м/с$^2$, $\pi=3,14$.

Рис. 49

Выразить из данной формулы длину маятника

Задача состоит в том, чтобы из формулы периода колебаний математического маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ выразить его длину $l$. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования:

1. Разделим обе части уравнения на $2\pi$, чтобы изолировать радикал (квадратный корень):

$\frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}}$

2. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня:

$(\frac{T}{2\pi})^2 = (\sqrt{\frac{l}{g}})^2$

$\frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{l}{g}$

3. Умножим обе части уравнения на ускорение свободного падения $g$, чтобы выразить длину маятника $l$:

$l = g \cdot \frac{T^2}{4\pi^2}$

Ответ: Формула для вычисления длины маятника: $l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$.

Найти её значение, если T = 1,1 с

Теперь, используя выведенную формулу, рассчитаем длину маятника для заданных значений. Подставим $T = 1,1$ с, $g = 9,8$ м/с² и $\pi \approx 3,14$ в формулу:

$l = \frac{9,8 \cdot (1,1)^2}{4 \cdot (3,14)^2} = \frac{9,8 \cdot 1,21}{4 \cdot 9,8596} = \frac{11,858}{39,4384} \approx 0,30064$ м.

Округляя результат до сотых, получаем $l \approx 0,30$ м.

Ответ: При периоде колебаний $T=1,1$ с длина маятника составляет примерно 0,30 м.

Найти её значение, если T = 2,2 с

Аналогично произведем расчет для периода колебаний $T = 2,2$ с, используя те же константы $g = 9,8$ м/с² и $\pi \approx 3,14$:

$l = \frac{9,8 \cdot (2,2)^2}{4 \cdot (3,14)^2} = \frac{9,8 \cdot 4,84}{4 \cdot 9,8596} = \frac{47,432}{39,4384} \approx 1,20256$ м.

Округляя результат до сотых, получаем $l \approx 1,20$ м.

Ответ: При периоде колебаний $T=2,2$ с длина маятника составляет примерно 1,20 м.

6. Объём V конуса находится по формуле

$V = \frac{1}{3}\pi R^2H$, где H — высота конуса, R — радиус основания (рис. 50). Выразить из этой формулы радиус основания конуса.

Рис. 50

Дана формула для нахождения объёма конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

В этой формуле $V$ — объём конуса, $H$ — его высота, а $R$ — радиус основания. Нам необходимо выразить радиус $R$ из этой формулы.

Для этого выполним последовательные алгебраические преобразования:

1. Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби $\frac{1}{3}$:

$3 \cdot V = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\pi R^2 H\right)$

$3V = \pi R^2 H$

2. Теперь, чтобы изолировать множитель $R^2$, разделим обе части уравнения на $\pi H$. Предполагается, что высота $H$ не равна нулю.

$\frac{3V}{\pi H} = \frac{\pi R^2 H}{\pi H}$

После сокращения получаем:

$R^2 = \frac{3V}{\pi H}$

3. На последнем шаге, чтобы найти $R$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как радиус $R$ является геометрической величиной и не может быть отрицательным, мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень.

$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

Таким образом, мы выразили радиус основания конуса через его объём и высоту.

Ответ: $R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

7. Первую космическую скорость $v$ (скорость вывода спутника на круговую орбиту) можно найти по формуле $v=\sqrt{Rg}$, где $R$ — радиус Земли, $g$ — ускорение свободного падения.

Рис. 50

Высоту полёта спутника считают много меньше $R$. С помощью калькулятора найти первую космическую скорость, приняв $R=6400$ км, $g=9,8 \text{ м/с}^2$.

Для нахождения первой космической скорости $v$ (скорости вывода спутника на круговую орбиту) используется формула, приведенная в условии задачи:
$v = \sqrt{Rg}$

В задаче даны следующие значения:
Радиус Земли $R = 6400$ км.
Ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с².

Для проведения расчетов необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Радиус $R$ выражен в километрах, а ускорение $g$ — в метрах на секунду в квадрате. Поэтому переведем радиус Земли в метры:
$R = 6400 \text{ км} = 6400 \times 1000 \text{ м} = 6 400 000 \text{ м}$.

Теперь подставим значения $R$ и $g$ в исходную формулу и выполним вычисления:
$v = \sqrt{6 400 000 \text{ м} \times 9,8 \text{ м/с²}} = \sqrt{62 720 000 \text{ м²/с²}}$

С помощью калькулятора находим значение скорости:
$v \approx 7919,59 \text{ м/с}$.

Округлим результат. Это значение также можно выразить в километрах в секунду, разделив значение в м/с на 1000.
$v \approx 7920 \text{ м/с}$, что составляет $7,92 \text{ км/с}$.

Ответ: первая космическая скорость составляет приблизительно $7920$ м/с (или $7,92$ км/с).

8. Начальная масса тела $m_0$ при движении со скоростью $v$ меняется и достигает величины $m$, которую можно найти по формуле $$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ где $c$ — скорость света. На сколько процентов увеличится масса тела при движении со скоростью: 1) $\frac{c}{2}$;
2) $10^5$ км/с? Принять скорость света $c = 3 \cdot 10^5$ км/с.

Для того чтобы найти, на сколько процентов увеличится масса тела, воспользуемся формулой процентного изменения: $\frac{m - m_0}{m_0} \times 100\%$. Учитывая, что релятивистская масса $m$ связана с массой покоя $m_0$ формулой $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, мы можем найти искомое процентное увеличение как $\left(\frac{m}{m_0} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1\right) \times 100\%$.

1) $\frac{c}{2}$;

В данном случае скорость тела $v = \frac{c}{2}$. Найдем отношение квадрата скорости тела к квадрату скорости света:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(\frac{c}{2})^2}{c^2} = \frac{\frac{c^2}{4}}{c^2} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим это значение в формулу для процентного увеличения:

$\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1\right) \times 100\%$

Вычислим приближенное значение: $(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) \times 100\% \approx (1.1547 - 1) \times 100\% = 15.47\%$. Округляя, получаем 15,5%.

Ответ: масса тела увеличится примерно на 15,5%.

2) $10^5$ км/с?

В данном случае скорость тела $v = 10^5$ км/с, а скорость света, согласно условию, $c = 3 \cdot 10^5$ км/с. Найдем отношение квадрата скорости тела к квадрату скорости света:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(10^5)^2}{(3 \cdot 10^5)^2} = \frac{10^{10}}{9 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{9}$

Подставим это значение в формулу для процентного увеличения:

$\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{9}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\sqrt{\frac{8}{9}}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{8}}{3}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{3}{\sqrt{8}} - 1\right) \times 100\% = \left(\frac{3}{2\sqrt{2}} - 1\right) \times 100\%$

Вычислим приближенное значение: $(\frac{3}{2\sqrt{2}} - 1) \times 100\% \approx (1.0607 - 1) \times 100\% = 6.07\%$. Округляя, получаем 6,1%.

Ответ: масса тела увеличится примерно на 6,1%.