Страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

458. Упростить:

1) $\sqrt{xy} \cdot \left(\frac{x}{y}\sqrt{xy} - 2\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{1}{xy}}\right)$, где $x>0, y>0;$

2) $\left(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{1}{ab}} - \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{b}} - b\sqrt{\frac{b}{a}}\right) : \sqrt{ab}$, где $a>0, b>0.$

1) Упростим выражение $ \sqrt{xy} \cdot \left( \frac{x}{y} \sqrt{xy} - 2\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{1}{xy}} \right) $, где $x > 0, y > 0$.
Для этого раскроем скобки, умножив множитель $ \sqrt{xy} $ на каждый член внутри скобок: $ \sqrt{xy} \cdot \left( \frac{x}{y} \sqrt{xy} \right) - \sqrt{xy} \cdot \left( 2\sqrt{\frac{y}{x}} \right) - \sqrt{xy} \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{xy}} \right) $
Теперь упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ для $a \ge 0, b \ge 0$.
Первое слагаемое: $ \frac{x}{y} \cdot (\sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}) = \frac{x}{y} \cdot (\sqrt{xy})^2 = \frac{x}{y} \cdot xy = x^2 $
Второе слагаемое: $ -2 \cdot \sqrt{xy \cdot \frac{y}{x}} = -2 \sqrt{\frac{xy^2}{x}} = -2\sqrt{y^2} $. Поскольку по условию $y > 0$, то $ \sqrt{y^2} = y $. Значит, второе слагаемое равно $ -2y $.
Третье слагаемое: $ -\sqrt{xy \cdot \frac{1}{xy}} = -\sqrt{\frac{xy}{xy}} = -\sqrt{1} = -1 $
Соберем все упрощенные части вместе: $ x^2 - 2y - 1 $
Ответ: $x^2 - 2y - 1$

2) Упростим выражение $ \left( \frac{a}{b} \sqrt{\frac{1}{ab}} - \frac{1}{b} \sqrt{\frac{a}{b}} - b\sqrt{\frac{b}{a}} \right) : \sqrt{ab} $, где $ a > 0, b > 0 $.
Операцию деления на $ \sqrt{ab} $ можно заменить умножением на $ \frac{1}{\sqrt{ab}} $. Раскроем скобки, умножив каждый член на $ \frac{1}{\sqrt{ab}} $: $ \left( \frac{a}{b} \sqrt{\frac{1}{ab}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} - \left( \frac{1}{b} \sqrt{\frac{a}{b}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} - \left( b\sqrt{\frac{b}{a}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} $
Упростим каждое слагаемое:
Первое слагаемое: $ \frac{a}{b} \cdot \sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{a}{b \cdot ab} = \frac{a}{ab^2} = \frac{1}{b^2} $
Второе слагаемое: $ -\frac{1}{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{ab}} = -\frac{1}{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{ab^2}} = -\frac{1}{b} \cdot \sqrt{\frac{1}{b^2}} $. Поскольку $b > 0$, $ \sqrt{\frac{1}{b^2}} = \frac{1}{b} $. Тогда слагаемое равно $ -\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b} = -\frac{1}{b^2} $.
Третье слагаемое: $ -b \cdot \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{ab}} = -b \cdot \sqrt{\frac{b}{a^2b}} = -b \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2}} $. Поскольку $a > 0$, $ \sqrt{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{a} $. Тогда слагаемое равно $ -b \cdot \frac{1}{a} = -\frac{b}{a} $.
Сложим полученные выражения: $ \frac{1}{b^2} - \frac{1}{b^2} - \frac{b}{a} = 0 - \frac{b}{a} = -\frac{b}{a} $
Ответ: $-\frac{b}{a}$

459. Исключить иррациональность из знаменателя:

1) $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}};

2) $\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}};

3) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};

4) $\frac{5-4\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-9}.$

1) Чтобы исключить иррациональность из знаменателя дроби $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным к $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ является выражение $\sqrt{3}+\sqrt{2}$. При умножении этих выражений используется формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

2) Для дроби $\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}}$ сопряженным выражением к знаменателю является $\sqrt{11}+\sqrt{3}$. Умножим на него числитель и знаменатель:

$\frac{2}{\sqrt{11}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11}-\sqrt{3})(\sqrt{11}+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{11-3} = \frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{8}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{2(\sqrt{11}+\sqrt{3})}{8} = \frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$.

3) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{7}+\sqrt{5}$.

$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$.

В числителе используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 7 + 2\sqrt{35} + 5 = 12+2\sqrt{35}$.

Знаменатель равен $7-5=2$.

Подставим полученные значения в дробь и упростим:

$\frac{12+2\sqrt{35}}{2} = \frac{2(6+\sqrt{35})}{2} = 6+\sqrt{35}$.

Ответ: $6+\sqrt{35}$.

4) Для дроби $\frac{5-4\sqrt{3}}{5\sqrt{3}-9}$ сопряженным к знаменателю $5\sqrt{3}-9$ является выражение $5\sqrt{3}+9$. Умножим на него числитель и знаменатель.

Знаменатель: $(5\sqrt{3}-9)(5\sqrt{3}+9) = (5\sqrt{3})^2 - 9^2 = 25 \cdot 3 - 81 = 75 - 81 = -6$.

Числитель: $(5-4\sqrt{3})(5\sqrt{3}+9) = 5 \cdot 5\sqrt{3} + 5 \cdot 9 - 4\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} \cdot 9 = 25\sqrt{3} + 45 - 20 \cdot 3 - 36\sqrt{3} = 25\sqrt{3} + 45 - 60 - 36\sqrt{3} = (45-60) + (25\sqrt{3}-36\sqrt{3}) = -15 - 11\sqrt{3}$.

Полученная дробь: $\frac{-15-11\sqrt{3}}{-6}$.

Чтобы избавиться от знака минуса в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на -1:

$\frac{-1(-15-11\sqrt{3})}{-1(-6)} = \frac{15+11\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{15+11\sqrt{3}}{6}$.

460. Доказать, что если $a>0, b>0$, то $a-\sqrt{ab}+b \ge \sqrt{ab}$.

Требуется доказать, что если $a > 0$ и $b > 0$, то выполняется неравенство:

$a - \sqrt{ab} + b \ge \sqrt{ab}$

Для доказательства выполним равносильные преобразования данного неравенства. Перенесем слагаемое $\sqrt{ab}$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$a - \sqrt{ab} - \sqrt{ab} + b \ge 0$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

Заметим, что левая часть полученного неравенства является полным квадратом разности. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем представить $a$ как $(\sqrt{a})^2$ и $b$ как $(\sqrt{b})^2$. Тогда неравенство принимает вид:

$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$

Используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{b}$, сворачиваем левую часть:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

Это неравенство является верным для любых действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, их квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными числами, следовательно, их разность $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ также является действительным числом.

Так как мы получили верное неравенство путем равносильных преобразований исходного, то и исходное неравенство является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

461. Вычислить на калькуляторе приближённое значение корня с точностью до 0,01:

1) $\sqrt{4,6}$;

2) $\sqrt{2,13}$;

3) $\sqrt{3,148}$;

4) $\sqrt{13,69}$.

1) Для вычисления приближенного значения $ \sqrt{4,6} $ с точностью до 0,01, воспользуемся калькулятором. Получаем $ \sqrt{4,6} \approx 2,14476... $. Чтобы округлить до сотых, необходимо посмотреть на третью цифру после запятой. В данном случае это цифра 4. Так как $ 4 < 5 $, то цифру в разряде сотых оставляем без изменений. Таким образом, $ \sqrt{4,6} \approx 2,14 $.
Ответ: 2,14

2) Вычислим на калькуляторе $ \sqrt{2,13} $. Получаем $ \sqrt{2,13} \approx 1,45945... $. Для округления до сотых (точность 0,01) смотрим на третью цифру после запятой — 9. Так как $ 9 \ge 5 $, то цифру в разряде сотых увеличиваем на единицу: $ 5+1=6 $. Следовательно, $ \sqrt{2,13} \approx 1,46 $.
Ответ: 1,46

3) Найдем приближенное значение $ \sqrt{3,148} $. Используя калькулятор, получаем $ \sqrt{3,148} \approx 1,77425... $. Округляем до сотых. Третья цифра после запятой — 4. Так как $ 4 < 5 $, то цифру в разряде сотых не изменяем. Получаем $ \sqrt{3,148} \approx 1,77 $.
Ответ: 1,77

4) Вычислим значение $ \sqrt{13,69} $. При помощи калькулятора находим, что $ \sqrt{13,69} = 3,7 $. Это точное значение. Чтобы представить его с точностью до 0,01, дописываем ноль в разряде сотых. Таким образом, $ \sqrt{13,69} = 3,70 $.
Ответ: 3,70

462. На калькуляторе вычислить с точностью до 0,001 значение выражения $\sqrt{a + \frac{1}{a} - 2}$ при:

Для решения задачи сначала упростим данное выражение. Выражение под корнем можно преобразовать, приведя к общему знаменателю и выделив полный квадрат:

$a + \frac{1}{a} - 2 = \frac{a^2}{a} + \frac{1}{a} - \frac{2a}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1}{a} = \frac{(a-1)^2}{a}$

Следовательно, исходное выражение эквивалентно следующему:

$\sqrt{a + \frac{1}{a} - 2} = \sqrt{\frac{(a-1)^2}{a}} = \frac{\sqrt{(a-1)^2}}{\sqrt{a}} = \frac{|a-1|}{\sqrt{a}}$

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого заданного значения a с точностью до 0,001.

1) a=1,1;

Подставляем значение $a=1,1$ в упрощенную формулу:

$\frac{|1,1 - 1|}{\sqrt{1,1}} = \frac{0,1}{\sqrt{1,1}}$

Используя калькулятор, находим, что $\sqrt{1,1} \approx 1,0488088...$

$\frac{0,1}{1,0488088...} \approx 0,095346...$

Округляя до тысячных, получаем 0,095.

Ответ: 0,095

2) a=1,19;

Подставляем значение $a=1,19$ в упрощенную формулу:

$\frac{|1,19 - 1|}{\sqrt{1,19}} = \frac{0,19}{\sqrt{1,19}}$

Используя калькулятор, находим, что $\sqrt{1,19} \approx 1,0908712...$

$\frac{0,19}{1,0908712...} \approx 0,174174...$

Округляя до тысячных, получаем 0,174.

Ответ: 0,174

3) a=0,81;

Подставляем значение $a=0,81$ в упрощенную формулу:

$\frac{|0,81 - 1|}{\sqrt{0,81}} = \frac{|-0,19|}{0,9} = \frac{0,19}{0,9}$

Выполняем деление:

$\frac{0,19}{0,9} = 0,211111...$

Округляя до тысячных, получаем 0,211.

Ответ: 0,211

4) a=0,9.

Подставляем значение $a=0,9$ в упрощенную формулу:

$\frac{|0,9 - 1|}{\sqrt{0,9}} = \frac{|-0,1|}{\sqrt{0,9}} = \frac{0,1}{\sqrt{0,9}}$

Используя калькулятор, находим, что $\sqrt{0,9} \approx 0,9486832...$

$\frac{0,1}{0,9486832...} \approx 0,105409...$

Округляя до тысячных, получаем 0,105.

Ответ: 0,105

463. Решить графически уравнение:

1) $\sqrt{x} = x;$

2) $\sqrt{x} = -x + 1;$

3) $\sqrt{x} = x - 2;$

4) $\sqrt{x} = 3x - 4;$

5) $\sqrt{x} = \frac{1}{x};$

6) $\sqrt{x} = \frac{2}{x}.$

1) $\sqrt{x}=x$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \sqrt{x}$ и $y = x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, симметричная относительно оси Ox параболе $y=x^2$ при $x \ge 0$. Она начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2).

График функции $y = x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2).

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и являются решениями уравнения. Из графика очевидно, что точки пересечения — это (0, 0) и (1, 1).

Следовательно, абсциссы точек пересечения равны 0 и 1.

Проверка:

При $x=0$: $\sqrt{0} = 0$, что верно.

При $x=1$: $\sqrt{1} = 1$, что верно.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1$.

2) $\sqrt{x}=-x+1$

Для графического решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x+1$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График функции $y = -x+1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=1$; если $x=1$, то $y=0$. Прямая проходит через точки (0, 1) и (1, 0).

Построив графики, видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки находится в интервале $(0, 1)$. Поскольку точное значение из графика определить затруднительно, найдем его алгебраически. Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что правая часть должна быть неотрицательной: $-x+1 \ge 0$, то есть $x \le 1$.

$x = (-x+1)^2 \implies x = x^2 - 2x + 1 \implies x^2 - 3x + 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.62$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.38$.

Условию $x \le 1$ удовлетворяет только корень $x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. Это и есть абсцисса точки пересечения графиков.

Ответ: $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

3) $\sqrt{x}=x-2$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x-2$.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = x-2$ — прямая, проходящая через точки (0, -2) и (2, 0).

Нанеся графики на координатную плоскость, можно увидеть, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — (4, 2).

Абсцисса точки пересечения равна 4. Это и есть решение уравнения.

Проверка: $\sqrt{4} = 4 - 2$, то есть $2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $x = 4$.

4) $\sqrt{x}=3x-4$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 3x-4$.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = 3x-4$ — прямая. Для построения найдем две точки: при $x=1$, $y=3(1)-4=-1$; при $x=2$, $y=3(2)-4=2$. Прямая проходит через (1, -1) и (2, 2).

Из графиков видно, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки лежит между 1 и 2. Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически. Условие: $3x-4 \ge 0$, то есть $x \ge \frac{4}{3}$.

$x = (3x-4)^2 \implies x = 9x^2 - 24x + 16 \implies 9x^2 - 25x + 16 = 0$.

Дискриминант $D = (-25)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.

Корни: $x_1 = \frac{25-7}{18} = \frac{18}{18} = 1$ и $x_2 = \frac{25+7}{18} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}$.

Проверим корни по условию $x \ge \frac{4}{3} \approx 1.33$.

Корень $x_1=1$ не удовлетворяет условию ($1 < 4/3$).

Корень $x_2 = \frac{16}{9} \approx 1.78$ удовлетворяет условию ($16/9 > 12/9$).

Таким образом, графики пересекаются в точке с абсциссой $x = \frac{16}{9}$.

Ответ: $x = \frac{16}{9}$.

5) $\sqrt{x}=\frac{1}{x}$

Для решения уравнения построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.

Уравнение имеет смысл только при $x>0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, и знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы рассматриваем графики только в первой координатной четверти.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = \frac{1}{x}$ (для $x>0$) — ветвь гиперболы, проходящая через точки (1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2).

Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке, координаты которой (1, 1).

Абсцисса точки пересечения $x=1$ является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{1} = \frac{1}{1}$, то есть $1=1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

6) $\sqrt{x}=\frac{2}{x}$

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{2}{x}$.

Область определения уравнения: $x > 0$.

График $y = \sqrt{x}$ — ветвь параболы, проходящая через (0, 0), (1, 1), (4, 2).

График $y = \frac{2}{x}$ (для $x>0$) — ветвь гиперболы, проходящая через точки (1, 2), (2, 1), (4, 0.5).

Сравнивая значения функций в некоторых точках, видим: при $x=1$, $\sqrt{x}=1$, а $\frac{2}{x}=2$; при $x=4$, $\sqrt{x}=2$, а $\frac{2}{x}=0.5$. Так как на промежутке $x>0$ функция $y = \sqrt{x}$ возрастает, а функция $y = \frac{2}{x}$ убывает, и в точке $x=1$ график $\sqrt{x}$ ниже, а в точке $x=4$ — выше, то графики должны пересечься в одной точке с абсциссой в интервале $(1, 4)$.

Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически:

$\sqrt{x} = \frac{2}{x} \implies x\sqrt{x} = 2 \implies x^{3/2} = 2$.

Возведем обе части в степень $2/3$: $(x^{3/2})^{2/3} = 2^{2/3}$.

$x = 2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Значение $\sqrt[3]{4} \approx 1.587$, что согласуется с графическим анализом (корень находится в интервале $(1, 4)$).

Ответ: $x = \sqrt[3]{4}$.

464. Доказать, что если $a>0$ и $b>0$, то $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$.

Для доказательства данного неравенства можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Алгебраические преобразования

Раскроем скобки в левой части доказываемого неравенства:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Таким образом, исходное неравенство $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$ равносильно неравенству:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем привести левую часть к общему знаменателю $ab$. Так как $ab > 0$, знак неравенства при умножении на него не изменится:

$\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$

$a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Перенесем член $2ab$ в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a-b)^2 \ge 0$.

Данное неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Равенство в данном неравенстве достигается при условии $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел $x$ и $y$ гласит: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$.

Поскольку по условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, мы можем применить это неравенство для двух пар положительных чисел.

1. Для чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, что равносильно $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

2. Для чисел $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$:

$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}$, что равносильно $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ или $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$.

Мы получили два верных неравенства. Так как левые и правые части обоих неравенств положительны, мы можем их перемножить:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (\frac{2}{\sqrt{ab}})$.

Выполнив умножение в правой части, получаем:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$.

Неравенство доказано. Равенство достигается тогда и только тогда, когда оно достигается в обоих использованных неравенствах о средних, то есть когда $a=b$.

Ответ: что и требовалось доказать.

465. Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Требуется доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство: $$ \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $$ Данное неравенство связывает среднее арифметическое и среднее квадратичное двух чисел. Для доказательства рассмотрим два возможных случая в зависимости от знака левой части.

Случай 1: $a+b \le 0$
В этом случае левая часть неравенства, $\frac{a+b}{2}$, является не положительной (то есть $\le 0$). Правая часть неравенства, $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, всегда не отрицательна (то есть $\ge 0$), так как $a^2 \ge 0$, $b^2 \ge 0$, и арифметический квадратный корень из не отрицательного числа также не отрицателен. Любое не положительное число всегда меньше или равно любому не отрицательному числу. Следовательно, в этом случае неравенство справедливо.

Случай 2: $a+b > 0$
В этом случае обе части неравенства являются не отрицательными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится: $$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 $$ Выполним алгебраические преобразования: $$ \frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$ Раскроем квадрат суммы в числителе левой части: $$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$ Умножим обе части неравенства на 4 (положительное число), чтобы избавиться от знаменателей: $$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2(a^2+b^2) $$ $$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2 $$ Перенесем все члены в правую часть: $$ 0 \le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 $$ $$ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $$ Выражение в правой части является полным квадратом разности: $$ 0 \le (a-b)^2 $$ Последнее неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Так как все преобразования были равносильными (для случая $a+b > 0$), то и исходное неравенство в этом случае справедливо.

Поскольку мы показали, что неравенство справедливо для всех возможных случаев ($a+b \le 0$ и $a+b > 0$), оно справедливо для любых чисел $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 \le (a-b)^2$ путем равносильных преобразований.

466. Упростить выражение:

1) $y=\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}$ при: а) $x < 4$; б) $4 \le x \le 6$;

в) $x > 6$;

2) $y=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{9x^2-6x+1}$ при: а) $x < \frac{1}{3}$; б) $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$;

в) $x > \frac{1}{2}$.

1) Дано выражение $y = \sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 - 12x + 36}$.
Сначала упростим выражения под корнями. Заметим, что они являются полными квадратами: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$ и $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$.
Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, чтобы преобразовать выражение:
$y = \sqrt{(x-4)^2} + \sqrt{(x-6)^2} = |x-4| + |x-6|$.
Теперь рассмотрим каждый случай для $x$.

а) При $x < 4$.
В этом случае оба выражения под модулем отрицательны: $x-4 < 0$ и $x-6 < 0$.
Раскрываем модули со знаком минус: $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x-6| = -(x-6) = 6-x$.
Тогда $y = (4-x) + (6-x) = 10 - 2x$.
Ответ: $10 - 2x$.

б) При $4 \le x \le 6$.
В этом случае $x-4 \ge 0$, а $x-6 \le 0$.
Раскрываем модули: $|x-4| = x-4$ и $|x-6| = -(x-6) = 6-x$.
Тогда $y = (x-4) + (6-x) = x - 4 + 6 - x = 2$.
Ответ: $2$.

в) При $x > 6$.
В этом случае оба выражения под модулем положительны: $x-4 > 0$ и $x-6 > 0$.
Раскрываем модули со знаком плюс: $|x-4| = x-4$ и $|x-6| = x-6$.
Тогда $y = (x-4) + (x-6) = 2x - 10$.
Ответ: $2x - 10$.

2) Дано выражение $y = \sqrt{4x^2 - 4x + 1} + \sqrt{9x^2 - 6x + 1}$.
Сначала упростим выражения под корнями. Они являются полными квадратами: $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$ и $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.
Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$y = \sqrt{(2x-1)^2} + \sqrt{(3x-1)^2} = |2x-1| + |3x-1|$.
Теперь рассмотрим каждый случай для $x$.

а) При $x < \frac{1}{3}$.
В этом случае оба выражения под модулем отрицательны: $3x-1 < 0$ и $2x-1 < 0$.
Раскрываем модули со знаком минус: $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$ и $|3x-1| = -(3x-1) = 1-3x$.
Тогда $y = (1-2x) + (1-3x) = 2 - 5x$.
Ответ: $2 - 5x$.

б) При $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.
В этом случае $3x-1 \ge 0$, а $2x-1 \le 0$.
Раскрываем модули: $|3x-1| = 3x-1$ и $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.
Тогда $y = (1-2x) + (3x-1) = 1 - 2x + 3x - 1 = x$.
Ответ: $x$.

в) При $x > \frac{1}{2}$.
В этом случае оба выражения под модулем положительны: $2x-1 > 0$ и $3x-1 > 0$.
Раскрываем модули со знаком плюс: $|2x-1| = 2x-1$ и $|3x-1| = 3x-1$.
Тогда $y = (2x-1) + (3x-1) = 5x - 2$.
Ответ: $5x - 2$.

467. Сравнить $\sqrt{a+b}$ и $\sqrt{a+\sqrt{b}}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Для сравнения двух неотрицательных выражений $ \sqrt{a+b} $ и $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ (поскольку по условию $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $), возведем оба выражения в квадрат. Сравнение квадратов неотрицательных чисел равносильно сравнению самих чисел.

Квадрат первого выражения:

$ (\sqrt{a+b})^2 = a+b $

Квадрат второго выражения (используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $):

$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b $

Теперь сравним полученные выражения: $ a+b $ и $ a + b + 2\sqrt{ab} $.

Вычтем из второго выражения первое:

$ (a + b + 2\sqrt{ab}) - (a+b) = 2\sqrt{ab} $

По условию задачи $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $. Следовательно, произведение $ ab \ge 0 $, и корень из этого произведения $ \sqrt{ab} \ge 0 $. Тогда и выражение $ 2\sqrt{ab} \ge 0 $.

Это означает, что разность квадратов неотрицательна, то есть $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a+b})^2 $.

Так как исходные выражения неотрицательны, то для них выполняется такое же неравенство:

$ \sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b} $

Проанализируем случаи равенства и строгого неравенства:

1. Равенство $ \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ достигается тогда и только тогда, когда разность их квадратов равна нулю, то есть $ 2\sqrt{ab} = 0 $. Это возможно, если $ ab = 0 $, что означает, что либо $ a=0 $, либо $ b=0 $ (или оба равны нулю).
2. Строгое неравенство $ \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} $ выполняется, когда разность квадратов строго положительна, то есть $ 2\sqrt{ab} > 0 $. Это возможно, если $ ab > 0 $, что означает, что $ a > 0 $ и $ b > 0 $ одновременно.

Ответ: $ \sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} $. Равенство достигается, если $ a=0 $ или $ b=0 $. Строгое неравенство $ \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} $ выполняется, если $ a > 0 $ и $ b > 0 $.