Номер 464, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 464, страница 179.

Условие.

464. Доказать, что если $a>0$ и $b>0$, то $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного неравенства можно воспользоваться несколькими способами.

Способ 1: Алгебраические преобразования

Раскроем скобки в левой части доказываемого неравенства:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$.

Таким образом, исходное неравенство $(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$ равносильно неравенству:

$2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 4$.

Вычтем 2 из обеих частей:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$.

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, мы можем привести левую часть к общему знаменателю $ab$. Так как $ab > 0$, знак неравенства при умножении на него не изменится:

$\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$

$a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Перенесем член $2ab$ в левую часть:

$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(a-b)^2 \ge 0$.

Данное неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Поскольку все выполненные преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Равенство в данном неравенстве достигается при условии $(a-b)^2 = 0$, то есть при $a=b$.

Способ 2: Использование неравенства о средних (неравенство Коши)

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел $x$ и $y$ гласит: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$.

Поскольку по условию задачи $a > 0$ и $b > 0$, мы можем применить это неравенство для двух пар положительных чисел.

1. Для чисел $a$ и $b$:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$, что равносильно $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

2. Для чисел $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$:

$\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}}$, что равносильно $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge 2\sqrt{\frac{1}{ab}}$ или $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{2}{\sqrt{ab}}$.

Мы получили два верных неравенства. Так как левые и правые части обоих неравенств положительны, мы можем их перемножить:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge (2\sqrt{ab}) \cdot (\frac{2}{\sqrt{ab}})$.

Выполнив умножение в правой части, получаем:

$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \ge 4$.

Неравенство доказано. Равенство достигается тогда и только тогда, когда оно достигается в обоих использованных неравенствах о средних, то есть когда $a=b$.

Ответ: что и требовалось доказать.