Номер 466, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 466, страница 179.

Условие.

466. Упростить выражение:

1) $y=\sqrt{x^2-8x+16}+\sqrt{x^2-12x+36}$ при: а) $x < 4$; б) $4 \le x \le 6$;

в) $x > 6$;

2) $y=\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{9x^2-6x+1}$ при: а) $x < \frac{1}{3}$; б) $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$;

в) $x > \frac{1}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Дано выражение $y = \sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 - 12x + 36}$.
Сначала упростим выражения под корнями. Заметим, что они являются полными квадратами: $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$ и $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$.
Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, чтобы преобразовать выражение:
$y = \sqrt{(x-4)^2} + \sqrt{(x-6)^2} = |x-4| + |x-6|$.
Теперь рассмотрим каждый случай для $x$.

а) При $x < 4$.
В этом случае оба выражения под модулем отрицательны: $x-4 < 0$ и $x-6 < 0$.
Раскрываем модули со знаком минус: $|x-4| = -(x-4) = 4-x$ и $|x-6| = -(x-6) = 6-x$.
Тогда $y = (4-x) + (6-x) = 10 - 2x$.
Ответ: $10 - 2x$.

б) При $4 \le x \le 6$.
В этом случае $x-4 \ge 0$, а $x-6 \le 0$.
Раскрываем модули: $|x-4| = x-4$ и $|x-6| = -(x-6) = 6-x$.
Тогда $y = (x-4) + (6-x) = x - 4 + 6 - x = 2$.
Ответ: $2$.

в) При $x > 6$.
В этом случае оба выражения под модулем положительны: $x-4 > 0$ и $x-6 > 0$.
Раскрываем модули со знаком плюс: $|x-4| = x-4$ и $|x-6| = x-6$.
Тогда $y = (x-4) + (x-6) = 2x - 10$.
Ответ: $2x - 10$.

2) Дано выражение $y = \sqrt{4x^2 - 4x + 1} + \sqrt{9x^2 - 6x + 1}$.
Сначала упростим выражения под корнями. Они являются полными квадратами: $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$ и $9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2$.
Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:
$y = \sqrt{(2x-1)^2} + \sqrt{(3x-1)^2} = |2x-1| + |3x-1|$.
Теперь рассмотрим каждый случай для $x$.

а) При $x < \frac{1}{3}$.
В этом случае оба выражения под модулем отрицательны: $3x-1 < 0$ и $2x-1 < 0$.
Раскрываем модули со знаком минус: $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$ и $|3x-1| = -(3x-1) = 1-3x$.
Тогда $y = (1-2x) + (1-3x) = 2 - 5x$.
Ответ: $2 - 5x$.

б) При $\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{2}$.
В этом случае $3x-1 \ge 0$, а $2x-1 \le 0$.
Раскрываем модули: $|3x-1| = 3x-1$ и $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.
Тогда $y = (1-2x) + (3x-1) = 1 - 2x + 3x - 1 = x$.
Ответ: $x$.

в) При $x > \frac{1}{2}$.
В этом случае оба выражения под модулем положительны: $2x-1 > 0$ и $3x-1 > 0$.
Раскрываем модули со знаком плюс: $|2x-1| = 2x-1$ и $|3x-1| = 3x-1$.
Тогда $y = (2x-1) + (3x-1) = 5x - 2$.
Ответ: $5x - 2$.