Номер 465, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 465, страница 179.

Условие.

465. Доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Требуется доказать, что для любых чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство: $$ \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $$ Данное неравенство связывает среднее арифметическое и среднее квадратичное двух чисел. Для доказательства рассмотрим два возможных случая в зависимости от знака левой части.

Случай 1: $a+b \le 0$
В этом случае левая часть неравенства, $\frac{a+b}{2}$, является не положительной (то есть $\le 0$). Правая часть неравенства, $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$, всегда не отрицательна (то есть $\ge 0$), так как $a^2 \ge 0$, $b^2 \ge 0$, и арифметический квадратный корень из не отрицательного числа также не отрицателен. Любое не положительное число всегда меньше или равно любому не отрицательному числу. Следовательно, в этом случае неравенство справедливо.

Случай 2: $a+b > 0$
В этом случае обе части неравенства являются не отрицательными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится: $$ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2 $$ Выполним алгебраические преобразования: $$ \frac{(a+b)^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$ Раскроем квадрат суммы в числителе левой части: $$ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \le \frac{a^2+b^2}{2} $$ Умножим обе части неравенства на 4 (положительное число), чтобы избавиться от знаменателей: $$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2(a^2+b^2) $$ $$ a^2 + 2ab + b^2 \le 2a^2 + 2b^2 $$ Перенесем все члены в правую часть: $$ 0 \le 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 $$ $$ 0 \le a^2 - 2ab + b^2 $$ Выражение в правой части является полным квадратом разности: $$ 0 \le (a-b)^2 $$ Последнее неравенство является истинным для любых действительных чисел $a$ и $b$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Так как все преобразования были равносильными (для случая $a+b > 0$), то и исходное неравенство в этом случае справедливо.

Поскольку мы показали, что неравенство справедливо для всех возможных случаев ($a+b \le 0$ и $a+b > 0$), оно справедливо для любых чисел $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано, так как оно сводится к верному неравенству $0 \le (a-b)^2$ путем равносильных преобразований.