Номер 458, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 458, страница 179.

Условие.

458. Упростить:

1) $\sqrt{xy} \cdot \left(\frac{x}{y}\sqrt{xy} - 2\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{1}{xy}}\right)$, где $x>0, y>0;$

2) $\left(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{1}{ab}} - \frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{b}} - b\sqrt{\frac{b}{a}}\right) : \sqrt{ab}$, где $a>0, b>0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим выражение $ \sqrt{xy} \cdot \left( \frac{x}{y} \sqrt{xy} - 2\sqrt{\frac{y}{x}} - \sqrt{\frac{1}{xy}} \right) $, где $x > 0, y > 0$.
Для этого раскроем скобки, умножив множитель $ \sqrt{xy} $ на каждый член внутри скобок: $ \sqrt{xy} \cdot \left( \frac{x}{y} \sqrt{xy} \right) - \sqrt{xy} \cdot \left( 2\sqrt{\frac{y}{x}} \right) - \sqrt{xy} \cdot \left( \sqrt{\frac{1}{xy}} \right) $
Теперь упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ для $a \ge 0, b \ge 0$.
Первое слагаемое: $ \frac{x}{y} \cdot (\sqrt{xy} \cdot \sqrt{xy}) = \frac{x}{y} \cdot (\sqrt{xy})^2 = \frac{x}{y} \cdot xy = x^2 $
Второе слагаемое: $ -2 \cdot \sqrt{xy \cdot \frac{y}{x}} = -2 \sqrt{\frac{xy^2}{x}} = -2\sqrt{y^2} $. Поскольку по условию $y > 0$, то $ \sqrt{y^2} = y $. Значит, второе слагаемое равно $ -2y $.
Третье слагаемое: $ -\sqrt{xy \cdot \frac{1}{xy}} = -\sqrt{\frac{xy}{xy}} = -\sqrt{1} = -1 $
Соберем все упрощенные части вместе: $ x^2 - 2y - 1 $
Ответ: $x^2 - 2y - 1$

2) Упростим выражение $ \left( \frac{a}{b} \sqrt{\frac{1}{ab}} - \frac{1}{b} \sqrt{\frac{a}{b}} - b\sqrt{\frac{b}{a}} \right) : \sqrt{ab} $, где $ a > 0, b > 0 $.
Операцию деления на $ \sqrt{ab} $ можно заменить умножением на $ \frac{1}{\sqrt{ab}} $. Раскроем скобки, умножив каждый член на $ \frac{1}{\sqrt{ab}} $: $ \left( \frac{a}{b} \sqrt{\frac{1}{ab}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} - \left( \frac{1}{b} \sqrt{\frac{a}{b}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} - \left( b\sqrt{\frac{b}{a}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} $
Упростим каждое слагаемое:
Первое слагаемое: $ \frac{a}{b} \cdot \sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot \frac{1}{\sqrt{ab}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{(\sqrt{ab})^2} = \frac{a}{b \cdot ab} = \frac{a}{ab^2} = \frac{1}{b^2} $
Второе слагаемое: $ -\frac{1}{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{ab}} = -\frac{1}{b} \cdot \sqrt{\frac{a}{ab^2}} = -\frac{1}{b} \cdot \sqrt{\frac{1}{b^2}} $. Поскольку $b > 0$, $ \sqrt{\frac{1}{b^2}} = \frac{1}{b} $. Тогда слагаемое равно $ -\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{b} = -\frac{1}{b^2} $.
Третье слагаемое: $ -b \cdot \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{ab}} = -b \cdot \sqrt{\frac{b}{a^2b}} = -b \cdot \sqrt{\frac{1}{a^2}} $. Поскольку $a > 0$, $ \sqrt{\frac{1}{a^2}} = \frac{1}{a} $. Тогда слагаемое равно $ -b \cdot \frac{1}{a} = -\frac{b}{a} $.
Сложим полученные выражения: $ \frac{1}{b^2} - \frac{1}{b^2} - \frac{b}{a} = 0 - \frac{b}{a} = -\frac{b}{a} $
Ответ: $-\frac{b}{a}$