Номер 454, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 454, страница 178.

Условие.

454. Упростить выражение:

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$ при:

а) $x < 1;$

б) $1 \le x \le 3;$

в) $x > 3.$

2) $y = \sqrt{a^2 - 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 10a + 25}$ при:

а) $a < 2;$

б) $2 \le a \le 5;$

в) $a > 5.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Исходное выражение: $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.

Заметим, что выражения под корнями являются формулами квадрата разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y = \sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{(x-3)^2}$

По определению арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому:

$y = |x-1| + |x-3|$

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) при $x < 1$

В этом случае оба выражения под знаком модуля отрицательны:

$x - 1 < 0$, следовательно $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$x - 3 < 1 - 3 = -2 < 0$, следовательно $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (1-x) + (3-x) = 1 - x + 3 - x = 4 - 2x$.

Ответ: $4 - 2x$

б) при $1 \le x \le 3$

В этом случае:

$x - 1 \ge 0$, следовательно $|x-1| = x-1$.

$x - 3 \le 0$, следовательно $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x-1) + (3-x) = x - 1 + 3 - x = 2$.

Ответ: $2$

в) при $x > 3$

В этом случае оба выражения под знаком модуля положительны:

$x - 1 > 3 - 1 = 2 > 0$, следовательно $|x-1| = x-1$.

$x - 3 > 0$, следовательно $|x-3| = x-3$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (x-1) + (x-3) = x - 1 + x - 3 = 2x - 4$.

Ответ: $2x - 4$

2)

Исходное выражение: $y = \sqrt{a^2 - 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 10a + 25}$.

Упростим подкоренные выражения, используя формулу квадрата разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y = \sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(a-5)^2}$

Используя свойство $\sqrt{b^2} = |b|$, получаем:

$y = |a-2| + |a-5|$

Теперь рассмотрим каждый из заданных промежутков.

а) при $a < 2$

В этом случае оба выражения под знаком модуля отрицательны:

$a - 2 < 0$, следовательно $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.

$a - 5 < 2 - 5 = -3 < 0$, следовательно $|a-5| = -(a-5) = 5-a$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (2-a) + (5-a) = 2 - a + 5 - a = 7 - 2a$.

Ответ: $7 - 2a$

б) при $2 \le a \le 5$

В этом случае:

$a - 2 \ge 0$, следовательно $|a-2| = a-2$.

$a - 5 \le 0$, следовательно $|a-5| = -(a-5) = 5-a$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (a-2) + (5-a) = a - 2 + 5 - a = 3$.

Ответ: $3$

в) при $a > 5$

В этом случае оба выражения под знаком модуля положительны:

$a - 2 > 5 - 2 = 3 > 0$, следовательно $|a-2| = a-2$.

$a - 5 > 0$, следовательно $|a-5| = a-5$.

Подставляем раскрытые модули в выражение для $y$:

$y = (a-2) + (a-5) = a - 2 + a - 5 = 2a - 7$.

Ответ: $2a - 7$