Номер 450, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 450, страница 178.

Условие.

450. Упростить:

1) $3\sqrt{20} + \sqrt{28} + \sqrt{45} - \sqrt{63};$

2) $\left(2\sqrt{\frac{2}{3}} - 8\sqrt{\frac{3}{8}} + 3\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}};$

3) $(6\sqrt{45} - 3\sqrt{20} + 9\sqrt{80}) : (3\sqrt{5});$

4) $(7\sqrt{8} - 14\sqrt{18} + 0,7\sqrt{12}) : (7\sqrt{2});$

5) $\frac{5}{1+\sqrt{6}} + \frac{6}{3+\sqrt{6}};$

6) $\frac{6}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим каждое слагаемое, вынеся множитель из-под знака корня, а затем приведем подобные слагаемые.
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$3\sqrt{20} + \sqrt{28} + \sqrt{45} - \sqrt{63} = 6\sqrt{5} + 2\sqrt{7} + 3\sqrt{5} - 3\sqrt{7}$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(6\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + (2\sqrt{7} - 3\sqrt{7}) = 9\sqrt{5} - \sqrt{7}$
Ответ: $9\sqrt{5} - \sqrt{7}$

2) Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $3\sqrt{\frac{3}{2}}$.
$\left(2\sqrt{\frac{2}{3}} - 8\sqrt{\frac{3}{8}} + 3\sqrt{\frac{3}{2}}\right) \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}} - 8\sqrt{\frac{3}{8}} \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}} + 3\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 3\sqrt{\frac{3}{2}}$
Упростим каждое произведение, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:
$6\sqrt{\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2}} - 24\sqrt{\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 2}} + 9 \cdot \frac{3}{2} = 6\sqrt{1} - 24\sqrt{\frac{9}{16}} + \frac{27}{2}$
Извлечем корни и выполним вычисления:
$= 6 \cdot 1 - 24 \cdot \frac{3}{4} + \frac{27}{2} = 6 - 18 + 13.5 = -12 + 13.5 = 1.5$
Представим результат в виде обыкновенной дроби: $1.5 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

3) Сначала упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней.
$6\sqrt{45} = 6\sqrt{9 \cdot 5} = 6 \cdot 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$
$3\sqrt{20} = 3\sqrt{4 \cdot 5} = 3 \cdot 2\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$
$9\sqrt{80} = 9\sqrt{16 \cdot 5} = 9 \cdot 4\sqrt{5} = 36\sqrt{5}$
Подставим упрощенные значения в скобки и приведем подобные слагаемые:
$(18\sqrt{5} - 6\sqrt{5} + 36\sqrt{5}) = (18 - 6 + 36)\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$
Теперь выполним деление:
$(48\sqrt{5}) : (3\sqrt{5}) = \frac{48\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = 16$
Ответ: $16$

4) Упростим выражение в скобках, вынеся множители из-под знаков корней.
$7\sqrt{8} = 7\sqrt{4 \cdot 2} = 7 \cdot 2\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$
$14\sqrt{18} = 14\sqrt{9 \cdot 2} = 14 \cdot 3\sqrt{2} = 42\sqrt{2}$
$0.7\sqrt{12} = 0.7\sqrt{4 \cdot 3} = 0.7 \cdot 2\sqrt{3} = 1.4\sqrt{3}$
Подставим упрощенные значения в скобки:
$(14\sqrt{2} - 42\sqrt{2} + 1.4\sqrt{3}) = -28\sqrt{2} + 1.4\sqrt{3}$
Теперь выполним деление, разделив каждый член скобок на $7\sqrt{2}$:
$\frac{-28\sqrt{2} + 1.4\sqrt{3}}{7\sqrt{2}} = \frac{-28\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} + \frac{1.4\sqrt{3}}{7\sqrt{2}} = -4 + \frac{0.2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности во втором слагаемом, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$-4 + \frac{0.2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -4 + \frac{0.2\sqrt{6}}{2} = -4 + 0.1\sqrt{6}$
Ответ: $-4 + 0.1\sqrt{6}$

5) Чтобы сложить дроби, избавимся от иррациональности в знаменателе каждой из них. Для этого домножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.
Для первой дроби сопряженное выражение равно $1-\sqrt{6}$:
$\frac{5}{1+\sqrt{6}} = \frac{5(1-\sqrt{6})}{(1+\sqrt{6})(1-\sqrt{6})} = \frac{5 - 5\sqrt{6}}{1^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{5 - 5\sqrt{6}}{1 - 6} = \frac{5 - 5\sqrt{6}}{-5} = -1 + \sqrt{6}$
Для второй дроби сопряженное выражение равно $3-\sqrt{6}$:
$\frac{6}{3+\sqrt{6}} = \frac{6(3-\sqrt{6})}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})} = \frac{18 - 6\sqrt{6}}{3^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{18 - 6\sqrt{6}}{9 - 6} = \frac{18 - 6\sqrt{6}}{3} = 6 - 2\sqrt{6}$
Теперь сложим полученные выражения:
$(-1 + \sqrt{6}) + (6 - 2\sqrt{6}) = (-1 + 6) + (\sqrt{6} - 2\sqrt{6}) = 5 - \sqrt{6}$
Ответ: $5 - \sqrt{6}$

6) Избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное знаменателю выражение.
Для первой дроби сопряженное выражение равно $\sqrt{2}+\sqrt{3}$:
$\frac{6}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{6\sqrt{2} + 6\sqrt{3}}{-1} = -6\sqrt{2} - 6\sqrt{3}$
Для второй дроби сопряженное выражение равно $\sqrt{2}-\sqrt{3}$:
$\frac{4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}}{-1} = -4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$
Теперь выполним вычитание:
$(-6\sqrt{2} - 6\sqrt{3}) - (-4\sqrt{2} + 4\sqrt{3}) = -6\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{3}$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(-6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) + (-6\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$
Ответ: $-2\sqrt{2} - 10\sqrt{3}$