Номер 456, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 456, страница 178.

Условие.

456. Упростить выражение:

1) $(\sqrt{ab} - \frac{ab}{a + \sqrt{ab}}) : \frac{a^2b}{a - b}$;

2) $(\frac{a + \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} + \frac{a - \sqrt{b}}{a + \sqrt{b}}) \cdot \frac{a - \sqrt{b}}{a^2 + b}$;

3) $(\frac{c - \sqrt{d}}{c + \sqrt{d}} - \frac{c + \sqrt{d}}{c - \sqrt{d}}) : \frac{2c\sqrt{d}}{c + \sqrt{d}}$;

4) $(2 + \sqrt{b})(\frac{2}{\sqrt{b} + 2} - \frac{2}{2 - \sqrt{b}} + \frac{2b}{4 - b})$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $a+\sqrt{ab}$:
$\sqrt{ab} - \frac{ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{\sqrt{ab}(a+\sqrt{ab}) - ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab} + (\sqrt{ab})^2 - ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab} + ab - ab}{a+\sqrt{ab}} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}$.
Теперь выполним деление. Для этого заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}} : \frac{a^2b}{a-b} = \frac{a\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}} \cdot \frac{a-b}{a^2b}$.
Разложим на множители $a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ и $a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$:
$\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})} \cdot \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a^2b}$.
Сократим общие множители $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$. Также можно упростить $\frac{a\sqrt{ab}}{\sqrt{a}} = \frac{a\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = a\sqrt{b}$:
$a\sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^2b} = \frac{a\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a^2b}$.
Сократим $a$ и раскроем скобки в числителе:
$\frac{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{ab} = \frac{\sqrt{ab}-b}{ab}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{ab}-b}{ab}$.

2) Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель будет $(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^2-b$.
$\frac{a+\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}} + \frac{a-\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}} = \frac{(a+\sqrt{b})^2 + (a-\sqrt{b})^2}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})} = \frac{(a^2+2a\sqrt{b}+b) + (a^2-2a\sqrt{b}+b)}{a^2-b} = \frac{2a^2+2b}{a^2-b} = \frac{2(a^2+b)}{a^2-b}$.
Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{2(a^2+b)}{a^2-b} \cdot \frac{a-\sqrt{b}}{a^2+b}$.
Сократим общий множитель $(a^2+b)$:
$\frac{2(a-\sqrt{b})}{a^2-b}$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $a^2-b = (a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})$:
$\frac{2(a-\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}$.
Сократим $(a-\sqrt{b})$:
$\frac{2}{a+\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{2}{a+\sqrt{b}}$.

3) Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d}) = c^2-d$.
$\frac{c-\sqrt{d}}{c+\sqrt{d}} - \frac{c+\sqrt{d}}{c-\sqrt{d}} = \frac{(c-\sqrt{d})^2 - (c+\sqrt{d})^2}{(c+\sqrt{d})(c-\sqrt{d})} = \frac{(c^2-2c\sqrt{d}+d) - (c^2+2c\sqrt{d}+d)}{c^2-d} = \frac{-4c\sqrt{d}}{c^2-d}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{-4c\sqrt{d}}{c^2-d} : \frac{2c\sqrt{d}}{c+\sqrt{d}} = \frac{-4c\sqrt{d}}{c^2-d} \cdot \frac{c+\sqrt{d}}{2c\sqrt{d}}$.
Сократим общий множитель $2c\sqrt{d}$:
$\frac{-2(c+\sqrt{d})}{c^2-d}$.
Разложим знаменатель $c^2-d = (c-\sqrt{d})(c+\sqrt{d})$:
$\frac{-2(c+\sqrt{d})}{(c-\sqrt{d})(c+\sqrt{d})}$.
Сократим $(c+\sqrt{d})$:
$\frac{-2}{c-\sqrt{d}}$.
Ответ: $\frac{-2}{c-\sqrt{d}}$.

4) Упростим выражение в больших скобках. Заметим, что $4-b = (2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})$, поэтому это будет общий знаменатель.
$\frac{2}{\sqrt{b}+2} - \frac{2}{2-\sqrt{b}} + \frac{2b}{4-b} = \frac{2(2-\sqrt{b})}{(2+\sqrt{b})(2-\sqrt{b})} - \frac{2(2+\sqrt{b})}{(2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})} + \frac{2b}{4-b}$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $4-b$ и сложим числители:
$\frac{2(2-\sqrt{b}) - 2(2+\sqrt{b}) + 2b}{4-b} = \frac{4-2\sqrt{b} - 4-2\sqrt{b} + 2b}{4-b} = \frac{2b-4\sqrt{b}}{4-b}$.
Вынесем в числителе общий множитель $2\sqrt{b}$, а в знаменателе используем формулу разности квадратов:
$\frac{2\sqrt{b}(\sqrt{b}-2)}{(2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})} = \frac{-2\sqrt{b}(2-\sqrt{b})}{(2-\sqrt{b})(2+\sqrt{b})}$.
Сократим общий множитель $(2-\sqrt{b})$:
$\frac{-2\sqrt{b}}{2+\sqrt{b}}$.
Теперь умножим полученное выражение на множитель перед скобками:
$(2+\sqrt{b}) \cdot \left(\frac{-2\sqrt{b}}{2+\sqrt{b}}\right)$.
Сократим $(2+\sqrt{b})$:
$-2\sqrt{b}$.
Ответ: $-2\sqrt{b}$.