Номер 455, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 455, страница 178.

Условие.

455 Найти значение выражения $2x^2 - 5ax + 2a^2$ при $x = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ и $a = \sqrt{6} - \sqrt{5}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для нахождения значения выражения $2x^2 - 5ax + 2a^2$ при заданных $x = \sqrt{6} + \sqrt{5}$ и $a = \sqrt{6} - \sqrt{5}$, удобнее сначала упростить само выражение, а затем подставить в него значения.

1. Упрощение выражения

Заметим, что переменные $x$ и $a$ являются сопряженными иррациональными числами. Это свойство позволяет легко найти их сумму и произведение.

Найдем сумму $x+a$:
$x+a = (\sqrt{6} + \sqrt{5}) + (\sqrt{6} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{6}$.

Найдем произведение $xa$, используя формулу разности квадратов $(c+d)(c-d) = c^2 - d^2$:
$xa = (\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5}) = (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2 = 6 - 5 = 1$.

Теперь преобразуем исходное выражение $2x^2 - 5ax + 2a^2$, чтобы выразить его через $x+a$ и $xa$. Для этого сгруппируем члены с квадратами и вынесем общий множитель 2:
$2x^2 - 5ax + 2a^2 = 2(x^2 + a^2) - 5ax$.

Используем известное тождество $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$, из которого можно выразить сумму квадратов: $x^2 + a^2 = (x+a)^2 - 2ax$.
Подставим это выражение в нашу формулу:

$2((x+a)^2 - 2ax) - 5ax = 2(x+a)^2 - 4ax - 5ax = 2(x+a)^2 - 9ax$.

2. Вычисление значения

Мы получили упрощенное выражение $2(x+a)^2 - 9ax$. Теперь подставим в него ранее найденные значения $x+a = 2\sqrt{6}$ и $xa = 1$:
$2(2\sqrt{6})^2 - 9 \cdot 1 = 2(2^2 \cdot (\sqrt{6})^2) - 9 = 2(4 \cdot 6) - 9 = 2(24) - 9 = 48 - 9 = 39$.

Ответ: 39