Номер 451, страница 178 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 451, страница 178.

Условие.

451. Сократить дробь:

1) $\frac{5a^2 - 35}{a - \sqrt{7}}}$;

2) $\frac{x^3 - 3x}{x + \sqrt{3}}}$;

3) $\frac{5x - 5\sqrt{3}}{3 - x^2}}}$;

4) $\frac{4\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b - 16a}}}$;

5) $\frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Исходная дробь: $ \frac{5a^2 - 35}{a - \sqrt{7}} $.
Сначала вынесем общий множитель 5 за скобки в числителе:
$ 5a^2 - 35 = 5(a^2 - 7) $.
Теперь разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $. Заметим, что $ 7 = (\sqrt{7})^2 $.
$ a^2 - 7 = a^2 - (\sqrt{7})^2 = (a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7}) $.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{5(a - \sqrt{7})(a + \sqrt{7})}{a - \sqrt{7}} $.
Сократим общий множитель $ (a - \sqrt{7}) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ a \neq \sqrt{7} $):
$ 5(a + \sqrt{7}) $.
Ответ: $ 5(a + \sqrt{7}) $.

2) Исходная дробь: $ \frac{x^3 - 3x}{x + \sqrt{3}} $.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:
$ x^3 - 3x = x(x^2 - 3) $.
Выражение в скобках является разностью квадратов, так как $ 3 = (\sqrt{3})^2 $.
$ x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) $.
Подставим разложенный числитель в дробь:
$ \frac{x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})}{x + \sqrt{3}} $.
Сократим общий множитель $ (x + \sqrt{3}) $ (при условии, что $ x \neq -\sqrt{3} $):
$ x(x - \sqrt{3}) $.
Ответ: $ x(x - \sqrt{3}) $.

3) Исходная дробь: $ \frac{5x - 5\sqrt{3}}{3 - x^2} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5:
$ 5x - 5\sqrt{3} = 5(x - \sqrt{3}) $.
Знаменатель $ 3 - x^2 $ разложим по формуле разности квадратов:
$ 3 - x^2 = (\sqrt{3})^2 - x^2 = (\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{5(x - \sqrt{3})}{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} $.
Заметим, что $ (x - \sqrt{3}) = -(\sqrt{3} - x) $. Заменим множитель в числителе:
$ \frac{-5(\sqrt{3} - x)}{(\sqrt{3} - x)(\sqrt{3} + x)} $.
Сократим общий множитель $ (\sqrt{3} - x) $ (при условии, что $ x \neq \sqrt{3} $):
$ \frac{-5}{\sqrt{3} + x} $.
Ответ: $ -\frac{5}{x + \sqrt{3}} $.

4) Исходная дробь: $ \frac{4\sqrt{a} + \sqrt{b}}{b - 16a} $.
Рассмотрим знаменатель $ b - 16a $. Его можно представить в виде разности квадратов, учитывая, что $ b = (\sqrt{b})^2 $ и $ 16a = (4\sqrt{a})^2 $ (при $ a \ge 0, b \ge 0 $).
$ b - 16a = (\sqrt{b})^2 - (4\sqrt{a})^2 = (\sqrt{b} - 4\sqrt{a})(\sqrt{b} + 4\sqrt{a}) $.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$ \frac{4\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{b} - 4\sqrt{a})(\sqrt{b} + 4\sqrt{a})} $.
Числитель $ 4\sqrt{a} + \sqrt{b} $ совпадает с одним из множителей в знаменателе $ (\sqrt{b} + 4\sqrt{a}) $. Сократим на этот множитель:
$ \frac{1}{\sqrt{b} - 4\sqrt{a}} $.
Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{b} - 4\sqrt{a}} $.

5) Исходная дробь: $ \frac{9 - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{6} - 2\sqrt{2}} $.
Преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель. Заметим, что $ \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $.
$ 3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\sqrt{3} - 2\sqrt{2} $.
Вынесем $ \sqrt{2} $ за скобки:
$ \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2) $.
Теперь преобразуем числитель, чтобы найти общий множитель со знаменателем. Вынесем $ \sqrt{3} $ за скобки из числителя:
$ 9 - 2\sqrt{3} = 3 \cdot (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2) $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)} $.
Сократим общий множитель $ (3\sqrt{3} - 2) $:
$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:
$ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $.