Номер 467, страница 179 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 4. Глава 4. Квадратные корни - номер 467, страница 179.

Условие.

467. Сравнить $\sqrt{a+b}$ и $\sqrt{a+\sqrt{b}}$, где $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для сравнения двух неотрицательных выражений $ \sqrt{a+b} $ и $ \sqrt{a} + \sqrt{b} $ (поскольку по условию $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $), возведем оба выражения в квадрат. Сравнение квадратов неотрицательных чисел равносильно сравнению самих чисел.

Квадрат первого выражения:

$ (\sqrt{a+b})^2 = a+b $

Квадрат второго выражения (используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $):

$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b $

Теперь сравним полученные выражения: $ a+b $ и $ a + b + 2\sqrt{ab} $.

Вычтем из второго выражения первое:

$ (a + b + 2\sqrt{ab}) - (a+b) = 2\sqrt{ab} $

По условию задачи $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $. Следовательно, произведение $ ab \ge 0 $, и корень из этого произведения $ \sqrt{ab} \ge 0 $. Тогда и выражение $ 2\sqrt{ab} \ge 0 $.

Это означает, что разность квадратов неотрицательна, то есть $ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a+b})^2 $.

Так как исходные выражения неотрицательны, то для них выполняется такое же неравенство:

$ \sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b} $

Проанализируем случаи равенства и строгого неравенства:

1. Равенство $ \sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $ достигается тогда и только тогда, когда разность их квадратов равна нулю, то есть $ 2\sqrt{ab} = 0 $. Это возможно, если $ ab = 0 $, что означает, что либо $ a=0 $, либо $ b=0 $ (или оба равны нулю).
2. Строгое неравенство $ \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} $ выполняется, когда разность квадратов строго положительна, то есть $ 2\sqrt{ab} > 0 $. Это возможно, если $ ab > 0 $, что означает, что $ a > 0 $ и $ b > 0 $ одновременно.

Ответ: $ \sqrt{a+b} \le \sqrt{a} + \sqrt{b} $. Равенство достигается, если $ a=0 $ или $ b=0 $. Строгое неравенство $ \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b} $ выполняется, если $ a > 0 $ и $ b > 0 $.