Страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

431. 1) $ \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} $;

2) $ \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{8}} $;

3) $ \frac{4\sqrt{40}}{\sqrt{10}} $;

4) $ \frac{20\sqrt{18}}{5\sqrt{2}} $.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойством частного квадратных корней, которое гласит, что частное корней равно корню из частного: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9}$

Квадратный корень из 9 равен 3.

$\sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{128}{8}}$

Выполним деление под знаком корня: $128 : 8 = 16$.

Получаем: $\sqrt{16} = 4$.

Ответ: 4

3) Данное выражение можно представить как произведение числового коэффициента и дроби с корнями:

$\frac{4\sqrt{40}}{\sqrt{10}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}}$

Теперь упростим дробную часть, используя свойство частного корней:

$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{40}{10}} = \sqrt{4} = 2$

Подставим полученное значение обратно в выражение и выполним умножение:

$4 \cdot 2 = 8$

Ответ: 8

4) В этом примере мы можем разделить вычисление на две части: деление коэффициентов перед корнями и деление самих корней.

$\frac{20\sqrt{18}}{5\sqrt{2}} = \frac{20}{5} \cdot \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

Вычислим каждую часть по отдельности.

Деление коэффициентов: $\frac{20}{5} = 4$.

Деление корней: $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$4 \cdot 3 = 12$

Ответ: 12

432. 1) $\sqrt{\frac{64 \cdot 49}{196 \cdot 324}}$;

2) $\sqrt{5\frac{4}{9} \cdot 11\frac{14}{25}}$;

3) $\sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{81} \cdot \frac{36}{169}}$;

4) $\sqrt{\frac{9}{16} \cdot 5^2}$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами квадратного корня: корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя $ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} $, а корень из произведения равен произведению корней $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{64 \cdot 49}{196 \cdot 324}} = \frac{\sqrt{64 \cdot 49}}{\sqrt{196 \cdot 324}} = \frac{\sqrt{64} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{196} \cdot \sqrt{324}} $
Вычисляем значения корней, так как все подкоренные выражения являются полными квадратами:
$ \sqrt{64} = 8 $
$ \sqrt{49} = 7 $
$ \sqrt{196} = 14 $
$ \sqrt{324} = 18 $
Подставляем значения в выражение и упрощаем полученную дробь:
$ \frac{8 \cdot 7}{14 \cdot 18} = \frac{56}{252} $
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на общие множители:
$ \frac{8 \cdot 7}{14 \cdot 18} = \frac{8 \cdot 7}{(2 \cdot 7) \cdot 18} = \frac{8}{2 \cdot 18} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} $
Ответ: $ \frac{2}{9} $.

2) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$ 5\frac{4}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 4}{9} = \frac{45 + 4}{9} = \frac{49}{9} $
$ 11\frac{14}{25} = \frac{11 \cdot 25 + 14}{25} = \frac{275 + 14}{25} = \frac{289}{25} $
Теперь подставим эти дроби в исходное выражение:
$ \sqrt{5\frac{4}{9} \cdot 11\frac{14}{25}} = \sqrt{\frac{49}{9} \cdot \frac{289}{25}} $
Используя свойство корня из произведения, разделим корень на два, а затем применим свойство корня из дроби:
$ \sqrt{\frac{49}{9}} \cdot \sqrt{\frac{289}{25}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} \cdot \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{25}} $
Вычисляем значения корней и перемножаем полученные дроби:
$ \frac{7}{3} \cdot \frac{17}{5} = \frac{7 \cdot 17}{3 \cdot 5} = \frac{119}{15} $
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
$ \frac{119}{15} = 7\frac{14}{15} $
Ответ: $ 7\frac{14}{15} $.

3) Для решения этого примера используем свойство корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} $.
$ \sqrt{\frac{9}{16} \cdot \frac{4}{81} \cdot \frac{36}{169}} = \sqrt{\frac{9}{16}} \cdot \sqrt{\frac{4}{81}} \cdot \sqrt{\frac{36}{169}} $
Далее, используя свойство корня из дроби, извлекаем корни из числителей и знаменателей:
$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{81}} \cdot \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{13} $
Перемножаем дроби и выполняем сокращение:
$ \frac{3 \cdot 2 \cdot 6}{4 \cdot 9 \cdot 13} = \frac{36}{468} $
Чтобы упростить, можно сокращать до умножения: $ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{13} = \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{6}{13} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{13} = \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{13} = \frac{1}{13} $
Ответ: $ \frac{1}{13} $.

4) Используем свойство корня из произведения: $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $.
$ \sqrt{\frac{9}{16} \cdot 5^2} = \sqrt{\frac{9}{16}} \cdot \sqrt{5^2} $
Вычисляем каждый корень отдельно:
$ \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4} $
$ \sqrt{5^2} = 5 $
Теперь перемножим полученные значения:
$ \frac{3}{4} \cdot 5 = \frac{15}{4} $
Представим результат в виде смешанного числа:
$ \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} $
Ответ: $ 3\frac{3}{4} $.

433. Исключить иррациональность из знаменателя:

1) $\frac{3}{\sqrt{5}}$;

2) $\frac{2}{\sqrt{6}}$;

3) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}$;

4) $\frac{1}{3+\sqrt{2}}$;

5) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$;

6) $\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$;

7) $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$;

8) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{8}}{\sqrt{10}-\sqrt{8}}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{3}{\sqrt{5}} $, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{5} $:

$ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

2) Домножим числитель и знаменатель дроби $ \frac{2}{\sqrt{6}} $ на $ \sqrt{6} $:

$ \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} $.

Сократим полученную дробь на 2:

$ \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{3} $.

3) В знаменателе находится разность, поэтому для избавления от иррациональности воспользуемся формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ 2+\sqrt{3} $:

$ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1} = 2+\sqrt{3} $.

Ответ: $ 2+\sqrt{3} $.

4) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ 3-\sqrt{2} $, используя формулу разности квадратов:

$ \frac{1}{3+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (3-\sqrt{2})}{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})} = \frac{3-\sqrt{2}}{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3-\sqrt{2}}{9-2} = \frac{3-\sqrt{2}}{7} $.

Ответ: $ \frac{3-\sqrt{2}}{7} $.

5) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{7}+\sqrt{3} $:

$ \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{7-3} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{4} $.

Сократим дробь на 4:

$ \sqrt{7}+\sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{7}+\sqrt{3} $.

6) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{5}-\sqrt{2} $:

$ \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} $.

Сократим дробь на 3:

$ \sqrt{5}-\sqrt{2} $.

Ответ: $ \sqrt{5}-\sqrt{2} $.

7) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{5}-\sqrt{7} $:

$ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{7})^2}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2} $.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $ и в знаменателе по формуле разности квадратов:

$ \frac{5 - 2\sqrt{5}\sqrt{7} + 7}{5 - 7} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{-2} $.

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$ \frac{12}{-2} - \frac{2\sqrt{35}}{-2} = -6 + \sqrt{35} = \sqrt{35} - 6 $.

Ответ: $ \sqrt{35} - 6 $.

8) Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ \sqrt{10}+\sqrt{8} $:

$ \frac{\sqrt{10}+\sqrt{8}}{\sqrt{10}-\sqrt{8}} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{8})(\sqrt{10}+\sqrt{8})}{(\sqrt{10}-\sqrt{8})(\sqrt{10}+\sqrt{8})} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{8})^2}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{8})^2} $.

Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $, а в знаменателе по формуле разности квадратов:

$ \frac{(\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10}\sqrt{8} + (\sqrt{8})^2}{10 - 8} = \frac{10 + 2\sqrt{80} + 8}{2} = \frac{18 + 2\sqrt{16 \cdot 5}}{2} = \frac{18 + 2 \cdot 4\sqrt{5}}{2} = \frac{18 + 8\sqrt{5}}{2} $.

Разделим числитель на 2:

$ \frac{18}{2} + \frac{8\sqrt{5}}{2} = 9 + 4\sqrt{5} $.

Ответ: $ 9 + 4\sqrt{5} $.

434. На калькуляторе вычислить с точностью до 0,01 разность между средним арифметическим и средним геометрическим чисел:

1) 17 и 39;

2) 71 и 86;

3) 134,2 и 243,1;

4) 150,3 и 210,4.

1) Для чисел 17 и 39:

Найдём среднее арифметическое: $M_a = \frac{17 + 39}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Найдём среднее геометрическое: $M_g = \sqrt{17 \cdot 39} = \sqrt{663}$.

Вычислим разность между средним арифметическим и средним геометрическим: $D = M_a - M_g = 28 - \sqrt{663} \approx 28 - 25,748786 \approx 2,251214$.

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем 2,25.

Ответ: 2,25.

2) Для чисел 71 и 86:

Найдём среднее арифметическое: $M_a = \frac{71 + 86}{2} = \frac{157}{2} = 78,5$.

Найдём среднее геометрическое: $M_g = \sqrt{71 \cdot 86} = \sqrt{6106}$.

Вычислим разность: $D = M_a - M_g = 78,5 - \sqrt{6106} \approx 78,5 - 78,140904 \approx 0,359096$.

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем 0,36.

Ответ: 0,36.

3) Для чисел 134,2 и 243,1:

Найдём среднее арифметическое: $M_a = \frac{134,2 + 243,1}{2} = \frac{377,3}{2} = 188,65$.

Найдём среднее геометрическое: $M_g = \sqrt{134,2 \cdot 243,1} = \sqrt{32620,02}$.

Вычислим разность: $D = M_a - M_g = 188,65 - \sqrt{32620,02} \approx 188,65 - 180,61013 \approx 8,03987$.

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем 8,04.

Ответ: 8,04.

4) Для чисел 150,3 и 210,4:

Найдём среднее арифметическое: $M_a = \frac{150,3 + 210,4}{2} = \frac{360,7}{2} = 180,35$.

Найдём среднее геометрическое: $M_g = \sqrt{150,3 \cdot 210,4} = \sqrt{31623,12}$.

Вычислим разность: $D = M_a - M_g = 180,35 - \sqrt{31623,12} \approx 180,35 - 177,82885 \approx 2,52115$.

Округляя результат с точностью до 0,01, получаем 2,52.

Ответ: 2,52.

435. Площадь одного квадрата $72 \text{ см}^2$, а площадь другого квадрата $2 \text{ см}^2$. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади квадрата: $S = a^2$, где $S$ — площадь, а $a$ — длина стороны квадрата. Из этой формулы следует, что длина стороны квадрата равна квадратному корню из его площади: $a = \sqrt{S}$.

1. Найдем длину стороны первого квадрата.
Площадь первого квадрата $S_1 = 72 \text{ см}^2$.
Следовательно, его сторона $a_1$ равна:
$a_1 = \sqrt{72}$ см.

2. Найдем длину стороны второго квадрата.
Площадь второго квадрата $S_2 = 2 \text{ см}^2$.
Следовательно, его сторона $a_2$ равна:
$a_2 = \sqrt{2}$ см.

3. Найдем отношение длин сторон.
Чтобы определить, во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго, необходимо найти их отношение, то есть разделить длину стороны первого квадрата на длину стороны второго:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

Используя свойство частного квадратных корней ($\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$), мы можем упростить это выражение:
$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36}$

Вычислив значение корня, получаем:
$\sqrt{36} = 6$

Таким образом, сторона первого квадрата в 6 раз больше стороны второго.

Ответ: в 6 раз.

436. Извлечь корень:

1) $\sqrt{\frac{25a^8}{49}}$;

2) $\sqrt{\frac{121x^4}{64}}$;

3) $\sqrt{\frac{1}{4a^2}}$, где $a > 0$;

4) $\sqrt{\frac{400}{a^2}}$, где $a < 0$.

1)

Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из числителя и знаменателя по отдельности. Это свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0, b > 0$.

Выражение под корнем $\frac{25a^8}{49}$ неотрицательно, так как $25 > 0$, $49 > 0$, и $a^8 = (a^4)^2 \ge 0$ при любом значении $a$.

Применим свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{25a^8}{49}} = \frac{\sqrt{25a^8}}{\sqrt{49}}$

Теперь извлечем корень из числителя и знаменателя:

Корень из знаменателя: $\sqrt{49} = 7$.

Корень из числителя: $\sqrt{25a^8} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{a^8} = 5 \cdot \sqrt{(a^4)^2}$.

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно, $\sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$. Поскольку $a^4$ всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), то $|a^4| = a^4$.

Значит, $\sqrt{25a^8} = 5a^4$.

Собираем всё вместе:

$\frac{\sqrt{25a^8}}{\sqrt{49}} = \frac{5a^4}{7}$

Ответ: $\frac{5a^4}{7}$

2)

Используем то же свойство корня из дроби: $\sqrt{\frac{121x^4}{64}} = \frac{\sqrt{121x^4}}{\sqrt{64}}$.

Подкоренное выражение $\frac{121x^4}{64}$ неотрицательно, так как $x^4 \ge 0$.

Извлекаем корень из знаменателя:

$\sqrt{64} = 8$.

Извлекаем корень из числителя:

$\sqrt{121x^4} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{x^4} = 11 \cdot \sqrt{(x^2)^2}$.

Используя правило $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем $\sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $|x^2| = x^2$.

Таким образом, $\sqrt{121x^4} = 11x^2$.

Объединяем результаты:

$\frac{\sqrt{121x^4}}{\sqrt{64}} = \frac{11x^2}{8}$

Ответ: $\frac{11x^2}{8}$

3)

Дано выражение $\sqrt{\frac{1}{4a^2}}$ и условие $a > 0$.

Применяем свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{1}{4a^2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4a^2}}$

Корень из числителя: $\sqrt{1} = 1$.

Корень из знаменателя: $\sqrt{4a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} = 2 \cdot |a|$.

Поскольку по условию $a > 0$, то модуль $|a|$ раскрывается как $a$.

Следовательно, $\sqrt{4a^2} = 2a$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{1}{2a}$

Ответ: $\frac{1}{2a}$

4)

Дано выражение $\sqrt{\frac{400}{a^2}}$ и условие $a < 0$.

Применяем свойство корня из дроби:

$\sqrt{\frac{400}{a^2}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{a^2}}$

Корень из числителя: $\sqrt{400} = 20$.

Корень из знаменателя: $\sqrt{a^2} = |a|$.

По условию задачи $a < 0$. По определению модуля, если число отрицательное, его модуль равен противоположному ему числу. То есть, $|a| = -a$ при $a < 0$.

Например, если $a = -5$, то $|-5| = 5 = -(-5)$.

Следовательно, $\sqrt{a^2} = -a$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{20}{-a} = -\frac{20}{a}$

Ответ: $-\frac{20}{a}$

437. Упростить выражение:

1) $(x-3)\sqrt{\frac{1}{x^2-6x+9}}$ при: а) $x>3$; б) $x<3$;

2) $(2-a)\sqrt{\frac{1}{a^2-4a+4}}$ при: а) $a>2$; б) $a<2$.

1) Упростим выражение $(x-3)\sqrt{\frac{1}{x^2-6x+9}}$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Знаменатель $x^2-6x+9$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=3$. Таким образом, $x^2-2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $(x-3)\sqrt{\frac{1}{(x-3)^2}}$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{y^2}=|y|$, получаем: $\sqrt{\frac{1}{(x-3)^2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(x-3)^2}} = \frac{1}{|x-3|}$.

Выражение принимает вид: $(x-3) \cdot \frac{1}{|x-3|} = \frac{x-3}{|x-3|}$.

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|x-3|$ в зависимости от знака выражения $x-3$.

а) При условии $x > 3$, разность $x-3$ является положительным числом, то есть $x-3>0$. Следовательно, по определению модуля, $|x-3| = x-3$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{x-3}{x-3} = 1$

Ответ: $1$

б) При условии $x < 3$, разность $x-3$ является отрицательным числом, то есть $x-3<0$. Следовательно, по определению модуля, $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{x-3}{-(x-3)} = -1$

Ответ: $-1$

2) Упростим выражение $(2-a)\sqrt{\frac{1}{a^2-4a+4}}$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Знаменатель $a^2-4a+4$ является полным квадратом разности: $a^2-2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a-2)^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $(2-a)\sqrt{\frac{1}{(a-2)^2}}$.

Используя свойство квадратного корня, получаем: $\sqrt{\frac{1}{(a-2)^2}} = \frac{1}{|a-2|}$.

Выражение принимает вид: $(2-a) \cdot \frac{1}{|a-2|} = \frac{2-a}{|a-2|}$.

Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль $|a-2|$ в зависимости от знака выражения $a-2$.

а) При условии $a > 2$, разность $a-2$ положительна, то есть $a-2>0$. Следовательно, $|a-2| = a-2$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{2-a}{a-2} = \frac{-(a-2)}{a-2} = -1$

Ответ: $-1$

б) При условии $a < 2$, разность $a-2$ отрицательна, то есть $a-2<0$. Следовательно, $|a-2| = -(a-2) = 2-a$.

Подставляем это в наше упрощенное выражение:

$\frac{2-a}{2-a} = 1$

Ответ: $1$

438. Вычислить:

1) $ \frac{3}{2+\sqrt{6}} + \frac{3}{2-\sqrt{6}} $;

2) $ \frac{5}{3-\sqrt{11}} + \frac{5}{3+\sqrt{11}} $;

3) $ \frac{2}{\sqrt{11}-3} - \frac{7}{\sqrt{11}-2} $;

4) $ \frac{3}{3+\sqrt{6}} + \frac{2}{2+\sqrt{6}} $;

5) $ \frac{3}{\sqrt{7}-2} - \frac{2}{\sqrt{7}+3} - 2\sqrt{7} $.

1) $ \frac{3}{2 + \sqrt{6}} + \frac{3}{2 - \sqrt{6}} $
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей $ (2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) $. Применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:
$ (2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6}) = 2^2 - (\sqrt{6})^2 = 4 - 6 = -2 $.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю и сложим их числители:
$ \frac{3(2 - \sqrt{6})}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} + \frac{3(2 + \sqrt{6})}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{3(2 - \sqrt{6}) + 3(2 + \sqrt{6})}{-2} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{6 - 3\sqrt{6} + 6 + 3\sqrt{6}}{-2} = \frac{12}{-2} = -6 $
Ответ: -6

2) $ \frac{5}{3 - \sqrt{11}} + \frac{5}{3 + \sqrt{11}} $
Найдем общий знаменатель, используя формулу разности квадратов:
$ (3 - \sqrt{11})(3 + \sqrt{11}) = 3^2 - (\sqrt{11})^2 = 9 - 11 = -2 $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{5(3 + \sqrt{11}) + 5(3 - \sqrt{11})}{-2} = \frac{15 + 5\sqrt{11} + 15 - 5\sqrt{11}}{-2} $
Упростим числитель:
$ \frac{30}{-2} = -15 $
Ответ: -15

3) $ \frac{2}{\sqrt{11} - 3} - \frac{7}{\sqrt{11} - 2} $
Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $ (\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} - 2) $.
Раскроем скобки в знаменателе:
$ (\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} - 2) = (\sqrt{11})^2 - 2\sqrt{11} - 3\sqrt{11} + 6 = 11 - 5\sqrt{11} + 6 = 17 - 5\sqrt{11} $.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание в числителе:
$ \frac{2(\sqrt{11} - 2) - 7(\sqrt{11} - 3)}{17 - 5\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11} - 4 - 7\sqrt{11} + 21}{17 - 5\sqrt{11}} $
Упростим числитель:
$ \frac{17 - 5\sqrt{11}}{17 - 5\sqrt{11}} = 1 $
Ответ: 1

4) $ \frac{3}{3 + \sqrt{6}} + \frac{2}{2 + \sqrt{6}} $
Общий знаменатель: $ (3 + \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) $.
Раскроем скобки в знаменателе:
$ (3 + \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 3 \cdot 2 + 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 6 + 5\sqrt{6} + 6 = 12 + 5\sqrt{6} $.
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим числители:
$ \frac{3(2 + \sqrt{6}) + 2(3 + \sqrt{6})}{12 + 5\sqrt{6}} = \frac{6 + 3\sqrt{6} + 6 + 2\sqrt{6}}{12 + 5\sqrt{6}} $
Упростим числитель:
$ \frac{12 + 5\sqrt{6}}{12 + 5\sqrt{6}} = 1 $
Ответ: 1

5) $ \frac{3}{\sqrt{7} - 2} - \frac{2}{\sqrt{7} + 3} - 2\sqrt{7} $
Упростим каждую дробь отдельно, избавившись от иррациональности в знаменателе.
Для первой дроби домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{7} + 2) $:
$ \frac{3}{\sqrt{7} - 2} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{7 - 4} = \frac{3(\sqrt{7} + 2)}{3} = \sqrt{7} + 2 $
Для второй дроби домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ (\sqrt{7} - 3) $:
$ \frac{2}{\sqrt{7} + 3} = \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{(\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3)} = \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{7 - 9} = \frac{2(\sqrt{7} - 3)}{-2} = -(\sqrt{7} - 3) = 3 - \sqrt{7} $
Подставим полученные выражения в исходный пример:
$ (\sqrt{7} + 2) - (3 - \sqrt{7}) - 2\sqrt{7} = \sqrt{7} + 2 - 3 + \sqrt{7} - 2\sqrt{7} $
Сгруппируем слагаемые и вычислим:
$ (\sqrt{7} + \sqrt{7} - 2\sqrt{7}) + (2 - 3) = (2\sqrt{7} - 2\sqrt{7}) - 1 = 0 - 1 = -1 $
Ответ: -1

439. Доказать с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2.$

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ оно имеет вид:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда $x=y$.

В нашем случае мы имеем дело с неравенством $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2$.

По условию, числа $a$ и $b$ — положительные, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, выражения $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ также положительны. Это означает, что их квадратные корни являются положительными действительными числами.

Применим неравенство Коши к числам $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$ и $y = \sqrt{\frac{b}{a}}$.

Получим:

$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}}{2} \ge \sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}}}$

Упростим правую часть неравенства. Вычислим произведение под внешним корнем:

$\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{ab}{ba}} = \sqrt{1} = 1$

Подставим полученный результат обратно в неравенство:

$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}}{2} \ge \sqrt{1}$

$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}}{2} \ge 1$

Для завершения доказательства умножим обе части неравенства на 2:

$\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2$

Неравенство доказано. Равенство достигается при $x=y$, то есть при $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$, что эквивалентно $a=b$.

Ответ: Неравенство $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2$ доказано с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для положительных чисел $\sqrt{\frac{a}{b}}$ и $\sqrt{\frac{b}{a}}$.