Номер 439, страница 175 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 25. Квадратный корень из дроби. Глава 4. Квадратные корни - номер 439, страница 175.

Условие.

439. Доказать с помощью неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ оно имеет вид:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда $x=y$.

В нашем случае мы имеем дело с неравенством $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2$.

По условию, числа $a$ и $b$ — положительные, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Следовательно, выражения $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ также положительны. Это означает, что их квадратные корни являются положительными действительными числами.

Применим неравенство Коши к числам $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$ и $y = \sqrt{\frac{b}{a}}$.

Получим:

$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}}{2} \ge \sqrt{\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}}}$

Упростим правую часть неравенства. Вычислим произведение под внешним корнем:

$\sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{ab}{ba}} = \sqrt{1} = 1$

Подставим полученный результат обратно в неравенство:

$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}}{2} \ge \sqrt{1}$

$\frac{\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}}{2} \ge 1$

Для завершения доказательства умножим обе части неравенства на 2:

$\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2$

Неравенство доказано. Равенство достигается при $x=y$, то есть при $\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$, что эквивалентно $a=b$.

Ответ: Неравенство $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} \ge 2$ доказано с помощью неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом для положительных чисел $\sqrt{\frac{a}{b}}$ и $\sqrt{\frac{b}{a}}$.